Gibbs fenomen

[IngOehman]

Kanske? Gör den det eller ej?

Svar nej, översvängen försvinner inte då antal temer i foruierserien är oändligt och detta är alltså Gibbs fenomen. Detta är inget Gibbs hittade på, utan något han bevisade.

Då infinner sig frågan, vid vilken tidpunkt inträffar ringningens topp?
Antar man att summan är en envärd funktion så måste svaret bli "aldrig".

Det är nog så att gränsvärdet för toppens höjd när antalet termer går mot oändligheten är 1,09. Toppen däremot upphör att existera när antalet termer är oändligt, värdet 1,09 uppnås inte vid någon tidpunkt.

Fel.

Toppen finns kvar. Det är bara dess bredd som går mot noll (men når det
aldrig).

Det är ju JUST det som är Gibbs fenomen!

Det är inte märkligare än att en dirac har varaktigheten noll. Och ingen
skulle väl påstå att en dirac har höjden noll bara för att varaktiheten är
noll?

Inte ens du. Hoppas jag.


Vh, iö

[IngOehman]

Igen - NEJ.

Gibbs fenomen är att överslängen inte försvinner* när antalet övertoner går mot oändligheten.

Alltså oändligt fler än en miljard miljarder flera än det som kommer med i en brickwall-funktion vis halva samplingsfrekvensen.

Mja, detta blir en definitionsdebatt om vad Gibbs fenomen är. Du får nog styrka din ståndpunkt med källor om du ska övertyga mig om att din syn på vad Gibbs fenomen egentligen är är allmänt vedertagen.

Att något går mot oändligheten betyder fö inte att det är oändligt många, gåendet börjar ju med ett enda steg. Själva gåendet är en del i processen. Jag snor en wikipediaillustration som fanns på svenska sidan om Gibbs fenomen

En syntetiserad fyrkantvåg där Gibbs fenomen vid övergångarna blir tydligare när fler harmonier läggs till.

Man kan iofs ha synpunkter på ordet "harmonier" i texten, det är nog en felöversättning av engelskans "harmonics".

Och nej - det väldefinierade (max)värdet som är Gibbs fenomen, gäller INTE i CD-spelarfallet, där överslängen kan bli större än så.

Hur ska du ha det, är det själva maxvärdet som är Gibbs fenomen nu? Gibbs fenomen är alltså ~9%? Nyss var det mer ett begrepp:

Gibbs fenomen är att överslängen inte försvinner* när antalet övertoner går mot oändligheten.

Kanske är det så att man kan ha lite olika tolkningar om vad fenomenet egentligen är?

Men det är intressant att du säger att överslängen kan bli större med någon annan signal än en fullt utstyrd fyrkantsvåg. Vilken signal är det?

Jag känner inte till någon text som inte är ett uppenbart missförstånd om
vad Gibbs fenomen är för något, som hävdar det du hävdar.

Att summan av 1000 Hz och 3000 Hz med 1/3 av amplituden inte ger en
våg med platt topp är inte Gibbs fenomen. Att toppen inte blir platt om man
så adderar oändligt antal övertoner, är det.

Och det var du som talade om maxvärdet. När jag citerade du så satte jag
det inom parentes för att Gibbs fenomen INTE är synonymt med maxvärdet
för översläng vid ändligt antal övertoner, som du antydde.

Gibbs fenomen är att det blir en översläng kvar (på cirka 9%) trots att man
försöker skapa en fyrkantvåg med de oändligt många övertonerna på plats.

Maxvärdet för översvängen nås med fyrkantvåg. Och de uppgår till ett högre
värden än det vi ser när vi studerar Gibbs fenomen*.


Vh, iö

- - - - -

*Istället för att studera Gibbs fenomen genom att räkna på limes oändligt
antal övertoner, så kan man studera stegsvaret för ett enskildt steg, upp-
byggt med valfri samplingsfrekvens men med SinX/X som rekonstriktions-
pulssvar (ogillar att många vill kalla detta för ett filter. Det är det inte).

Dock måste SinX/X represeteras av ett oändligt antal termer för att man
skall få en exakt siffra för överslängens storlek om inte, så på så vis är väl
kanske inte vinsten så stor med avseende på beräkningens komplexitet.
Dock är det, för de flesta nog mycket lättare att intuitivt förstå varför det
blir som det blir om man räknar på ett enskildt steg på det viset.
Allt blir ju liksom helt självklart då.

Man kan säga att man på så vis räknar på en oändligt låg frekvens istället
för att räkna med ett oändligt antal övertoner. Men kvoten är i båda fall
oändligheten, så resultatet blir lika.

[lilltroll]

är den att om man gör en FFT på en teoretiskt ideal fyrkantvåg så
finner man att

det inte går.

Den ideala fyrkantsvågen är tidskontinuerlig, en FFT tar endast en tidsdiskret signal som in-argument.

För att det ska vara möjligt så måste den tidskont. signalen först samplas, och om korrekt rekonstruktion ska vara möjlig så måste signalen bandbregränsas innan den samplas.
Den filtrerade signalen kommer då inte vara en ideal fyrkantsvåg längre.

Fourier-serie kan dock tillämpas på fyrkantsvågen.

Limes* för bövelen - limes!

Det trodde jag alla fattade. Att den beskrivande serien då blir ett
oändligt antal spektralkomponenter som faller som jag beskrev.


Vh, iö

- - - - -

*Fs gående mot oändligheten.

Då kan ju du som fattar visa för oss andra hur du utför en DFT på fyrkantsvågen:

Dvs, jag vill att du matematiskt visar hur du applicerar


på signalen



och dessutom beräknar det analytiska resultatet för Xk

Uppenbarligen klarar du ju inte av att göra det numeriskt, och då finns det bara ett analytiskt möjlig lösning på problemet.
Jag vill BARA ha ett matematiskt svar , helt ointresserad av massa snack.
DFT duger för mig, men vill du hellre visa det för en FFT istället så går det bra. Om du vill använda en annan matematisk beskrivning av fyrkantsvågen så är det ok så länge den är tidskontinuerlig.

Antingen är beviset rätt, eller så är det fel. Mycket enkelt.

[IngOehman]

Men oavsett vad fenomenet är kallat så verkar det iaf som att konstruktörerna av bdp105 missade att överslängen blir större än de räknat med pga detta fenomen? Och därför bör man aktivera volymkontrollen och minska volymen till 96 eller var det 97? Och då ryms efterslängen oklippt?

Så har iallafall jag förstått texten.

/DQ-20

Ja, fast problemet är mest akademiskt.

Sannolikheten att en verklig musiksignal, till och med en klippt, skall rendera
denna form av digitalklippning på det, är inte så jättestor.

Det fanns faktiskt en diskussion om detta bland DAC-konstruktörer (som jag
deltog i, inblandad som konsult) på det tidiga 90-talet. Och eftersom man inte
ville offra ens en bråkdel av en dB i S/N så valde man ibland att låta just denna
speciella testsignal (ja, fyrkantvåg är rätt speciell) klippa.

Det har funnits rätt många DACar genom åren som klipper på detta vis. Och
många av dem har gjort det "med avsikt". I andra fall så berodde det förstås
på att B&B hade en digitalfilter som gjorde så, och som vissa konstruktörer
använde, utan att veta om artefakten.

Om jag inte minns fel så uppvisade Sentec DiAna samma fenomen, och detta
upptäckte jag i samband med LTS' test av den DACen och skrev om i MoLt.


Vh, iö

[Svante]

Det behövs inga tolkningar. Jag skrev ju idealisk fyrkantvåg, och man kan
bara göra FFT på en sådan på så vis. Låta Fs gå mot oändligheten. Räkna
får man göra oändligt länge dock, det är därför det är hypotetiskt.

Ah, det är det som kallas FAST Fourier transform...

[Svante]

Det behövs inga tolkningar. Jag skrev ju idealisk fyrkantvåg, och man kan
bara göra FFT på en sådan på så vis. Låta Fs gå mot oändligheten. Räkna
får man göra oändligt länge dock, det är därför det är hypotetiskt.

Mycket bludder om Gibbs.

Om vi utgår från TEX. en fyrkantvåg som enkelt beskrivs med heavisides stegfunktion och sedan gör en Fourierutveckling (som per definition kommer att ha ett oändligt antal termer)* av densamma så inses efter en del matematikst bök att dessa funktioner kommer att avvika en smula - detta är Gibbs fenomen. Fyrkantvågen är som bekant en kontinuerlig funktion, men dess derivata är INTE det, varför problemen uppstår.



* varför detta bludder om antal termer saknar relevans.

Nja, har man oändligt antal termer så får man faktiskt exakt en fyrkantvåg. Alltså i den meningen att funktionen exakt stämmer överens i varje punkt med fyrkantvågen. Funktionen växlar mellan exakt +1 och -1 och precis i språnget har den värdet 0.

Men på vägen dit så finns Gibbs med hela tiden. På vägen ser man aldrig att ringningen minskar i amplitud, tvärtom konvergerar största toppens amplitud mot ungefär 1,09.

Så frågan är om ringningen verkligen finns om man har oändligt många termer. Ska man lita på gränsvärdet, alltså att toppens amplitud är ~1,09 eller ska man lita på att varje funktionsvärde man får fram stämmer exakt med fyrkantvågens?

Lite lurigt är det allt.

Du har fel. Morello har rätt.

Det du skriver i första stycket är till och med väldigt fel.


Vh, iö

Motivera, bitte.

Jag påstår att

lim n->oändl sum 1,n (1/(2n-1) * sin((2n-1)wt)) bara kan anta tre värden, -a,0 och a, dvs de tre amplituderna i en fyrkantvåg.

Om du påstår något annat: Exakt vid vilket t inträffar det?

[petersteindl]

Tänkte bara lägga in ett citat från engelska Wiki.

The Gibbs phenomenon involves both the fact that Fourier sums overshoot at a jump discontinuity, and that this overshoot does not die out as the frequency increases.

From the point of view of signal processing, the Gibbs phenomenon is the step response of a low-pass filter, and the oscillations are called ringing or ringing artifacts.

Truncating the Fourier transform of a signal on the real line, or the Fourier series of a periodic signal (equivalently, a signal on the circle) corresponds to filtering out the higher frequencies by an ideal (brick-wall) low-pass/high-cut filter.

This can be represented as convolution of the original signal with the impulse response of the filter (also known as the kernel), which is the sinc function.

Thus the Gibbs phenomenon can be seen as the result of convolving a Heaviside step function (if periodicity is not required) or a square wave (if periodic) with a sinc function: the oscillations in the sinc function cause the ripples in the output.

Mvh
Peter

[IngOehman]

Ja just det. Båda. Det skrev jag ju:

Istället för att studera Gibbs fenomen genom att räkna på limes oändligt
antal övertoner, så kan man studera stegsvaret för ett enskildt steg, upp-
byggt med valfri samplingsfrekvens men med SinX/X som rekonstriktions-
pulssvar (ogillar att många vill kalla detta för ett filter. Det är det inte).

Dock måste SinX/X represeteras av ett oändligt antal termer för att man
skall få en exakt siffra för överslängens storlek om inte, så på så vis är väl
kanske inte vinsten så stor med avseende på beräkningens komplexitet.
Dock är det, för de flesta nog mycket lättare att intuitivt förstå varför det
blir som det blir om man räknar på ett enskildt steg på det viset.
Allt blir ju liksom helt självklart då.

Man kan säga att man på så vis räknar på en oändligt låg frekvens istället
för att räkna med ett oändligt antal övertoner. Men kvoten är i båda fall
oändligheten, så resultatet blir lika.

Vh, iö

[Svante]

Kanske? Gör den det eller ej?

Svar nej, översvängen försvinner inte då antal temer i foruierserien är oändligt och detta är alltså Gibbs fenomen. Detta är inget Gibbs hittade på, utan något han bevisade.

Då infinner sig frågan, vid vilken tidpunkt inträffar ringningens topp?
Antar man att summan är en envärd funktion så måste svaret bli "aldrig".

Det är nog så att gränsvärdet för toppens höjd när antalet termer går mot oändligheten är 1,09. Toppen däremot upphör att existera när antalet termer är oändligt, värdet 1,09 uppnås inte vid någon tidpunkt.

Fel.

Toppen finns kvar. Det är bara dess bredd som går mot noll (men når det
aldrig).

Det är ju JUST det som är Gibbs fenomen!

Det är inte märkligare än att en dirac har varaktigheten noll. Och ingen
skulle väl påstå att en dirac har höjden noll bara för att varaktiheten är
noll?

Inte ens du. Hoppas jag.


Vh, iö

Det finns en väsentlig skillnad. Diracen vet man att den är oändligt hög vid t=0. Jag frågar dig då när den oändliga sinussumman avviker från fyrkantvågen. Det måste ju hända vid något tillfälle om den gör det, eller?

[IngOehman]

Ja, i tiden noll, då den både underskjuter, har avvikelsen noll och överskjuter
(om positiv flank) i den ordningen, men med tidsskillnaden noll.

Det vet/förstår du ju själv, så vad är det egentligen som föranleder frågan?


Vh, iö

[Svante]

Och nej - det väldefinierade (max)värdet som är Gibbs fenomen, gäller INTE i CD-spelarfallet, där överslängen kan bli större än så.

Men det är intressant att du säger att överslängen kan bli större med någon annan signal än en fullt utstyrd fyrkantsvåg. Vilken signal är det?

Maxvärdet för översvängen nås med fyrkantvåg. Och de uppgår till ett högre
värden än det vi ser när vi studerar Gibbs fenomen*.


Vh, iö

- - - - -

*Istället för att studera Gibbs fenomen genom att räkna på limes oändligt
antal övertoner, så kan man studera stegsvaret för ett enskildt steg, upp-
byggt med valfri samplingsfrekvens men med SinX/X som rekonstriktions-
pulssvar (ogillar att många vill kalla detta för ett filter. Det är det inte).

Dock måste SinX/X represeteras av ett oändligt antal termer för att man
skall få en exakt siffra för överslängens storlek om inte, så på så vis är väl
kanske inte vinsten så stor med avseende på beräkningens komplexitet.
Dock är det, för de flesta nog mycket lättare att intuitivt förstå varför det
blir som det blir om man räknar på ett enskildt steg på det viset.
Allt blir ju liksom helt självklart då.

Man kan säga att man på så vis räknar på en oändligt låg frekvens istället
för att räkna med ett oändligt antal övertoner. Men kvoten är i båda fall
oändligheten, så resultatet blir lika.

Ok, nu blev jag förkryllad. Du säger att maxvärdet nås med fyrkantvåg, gärna en sådan med låg frekvens, tex så låg att den bara blir ett enda steg. Så kan det väl inte vara, tänkte jag. Att lågpassa en fyrkantvåg måste ju vara samma sak som att bygga upp en fyrkantvåg med ett ändligt antal sinusar, och de borde därmed få lika stor ringning. Men jag missade en sak.

Jag syntetiserade just en 10 Hz "fyrkantvåg" med 500 deltoner och samplingsfrekvensen 100000 Hz. Jag ställde in nivån på sinusarna så att amplituden på fyrkantvågen blev +/- 1 i de plana partierna. Toppvärdet blev då 1,19. Språnget som signalen tar är 2 stort, så här har vi en overshoot på 9,5%. Lite mer än Gibbs konstant, men nära nog.

Sen vände jag på det hela i stället och gjorde en signal samplad med 10000 Hz och laddade den med en digital fyrkantvåg. Sen samplade jag upp den med superduperinställningar på min omsamplare och då fick jag ett största värde på 1,28. Hmm, vad i helvitte.

En spektralanalys ger dock förklaringen. Den digitala fyrkantvågens spektrum faller inte med 6 dB/oktav som jag hade väntat mig. Den är i stället drabbad av "vikningsdistorsion" som gör att de högre deltonerna är lite för starka. Det gör att ringningen, som ju "består av frekvenser nära brytfrekvensen" får mer energi, ringningen blir kraftigare.

Intressant. Det verkar alltså som att marginalen man behöver är ungefär 1,28 ggr fyrkantvågens toppvärde, och inte 1,19 ggr toppvärdet som Gibbs fenomen ger.

[petersteindl]

Vilken sjuhelvetiskt djävla bra tråd!

Mvh
Peter

[Svante]

Ja, i tiden noll, då den både underskjuter, har avvikelsen noll och överskjuter
(om positiv flank) i den ordningen, men med tidsskillnaden noll.

Det vet/förstår du ju själv, så vad är det egentligen som föranleder frågan?


Vh, iö

Nja.

Alltså en funktion har bara ett värde för varje tidpunkt. Värdet som ges av Fourierserien vid t=0 är 0 eftersom sin(0)=0. Inget annat.

Jag skulle nog vilja se på det som att visserligen har toppen amplituden + 9%, men den har upphört att existera. Fouriersumman har ju samma värde som fyrkantvågen för alla t.

[Svante]

Vilken sjuhelvetiskt djävla bra tråd!

Mvh
Peter

Ja, det är väl klart, den handlar ju om MoLt...

Och sen är Lilltroll tillbaka.

[DQ-20]

Ja, i tiden noll, då den både underskjuter, har avvikelsen noll och överskjuter
(om positiv flank) i den ordningen, men med tidsskillnaden noll.

Det vet/förstår du ju själv, så vad är det egentligen som föranleder frågan?


Vh, iö

Nja.

Alltså en funktion har bara ett värde för varje tidpunkt. Värdet som ges av Fourierserien vid t=0 är 0 eftersom sin(0)=0. Inget annat.

Jag skulle nog vilja se på det som att visserligen har toppen amplituden + 9%, men den har upphört att existera. Fouriersumman har ju samma värde som fyrkantvågen för alla t.

Det låter som du just avskaffade Gibbs fenomen?

[PerStromgren]

En kul tråd; detta gillar jag!

Jag tycker mig se att debatten förs ifrån två synvinklar. en ingenjörsmässig och en matematisk. Om debatten ska vara om matematik, duger inget bjäfs: matematikens krav på strikt logik och frihet från tyckande är rent besvärande.

Talar vi däremot om ingenjörsmässig implementation är det snarare: fram med 'skåpet och schemorna!

Bägge är, givetvis, av stor vikt!

, kanske, möjligen.

[Svante]

Ja, i tiden noll, då den både underskjuter, har avvikelsen noll och överskjuter
(om positiv flank) i den ordningen, men med tidsskillnaden noll.

Det vet/förstår du ju själv, så vad är det egentligen som föranleder frågan?


Vh, iö

Nja.

Alltså en funktion har bara ett värde för varje tidpunkt. Värdet som ges av Fourierserien vid t=0 är 0 eftersom sin(0)=0. Inget annat.

Jag skulle nog vilja se på det som att visserligen har toppen amplituden + 9%, men den har upphört att existera. Fouriersumman har ju samma värde som fyrkantvågen för alla t.

Det låter som du just avskaffade Gibbs fenomen?

Nja, Gibbs fenomen är ju vägen till avskaffandet.

Alltså, jag kanske kämpar mot bättre vetande här, men det vore roligt med en förklaring till hur en funktion som bara kan anta värdena -1, 0 och 1 kan ha värdet 1,19. Jag menar, om den vid något tillfälle antar värdet 1,19 då måste man väl kunna säga när detta inträffar. Man måste kunna mata funktionen med en tidpunkt och få svaret 1,19, annars tycker åtminstone inte jag att den kan anta värdet 1,19.

(Jag bytte just från 1,09 till 1,19, överskjutet är ju 9 % av språngets amplitud, och språnget är ju 2.)

[Svante]

En kul tråd; detta gillar jag!

Jag tycker mig se att debatten förs ifrån två synvinklar. en ingenjörsmässig och en matematisk. Om debatten ska vara om matematik, duger inget bjäfs: matematikens krav på strikt logik och frihet från tyckande är rent besvärande.

Talar vi däremot om ingenjörsmässig implementation är det snarare: fram med 'skåpet och schemorna!

Bägge är, givetvis, av stor vikt!

, kanske, möjligen.

Fast jag tycker nog att båda vinklarna är matemagiska. Den ena vinkeln handlar om vägen till oändligheten, den andra när man är där.

Jag minns vagt ett exempel från min utbildning när man hade någon funktion som hade en singularitet i origo på komplexa talplandet. Om man närmade sig origo längs reella eller imaginära axeln så blev gränsvärdet olika. Det känns som att det här är ungefär samma sak, på nåt sätt.

[IngOehman]

Och nej - det väldefinierade (max)värdet som är Gibbs fenomen, gäller INTE i CD-spelarfallet, där överslängen kan bli större än så.

Men det är intressant att du säger att överslängen kan bli större med någon annan signal än en fullt utstyrd fyrkantsvåg. Vilken signal är det?

Maxvärdet för översvängen nås med fyrkantvåg. Och de uppgår till ett högre
värden än det vi ser när vi studerar Gibbs fenomen*.


Vh, iö

- - - - -

*Istället för att studera Gibbs fenomen genom att räkna på limes oändligt
antal övertoner, så kan man studera stegsvaret för ett enskildt steg, upp-
byggt med valfri samplingsfrekvens men med SinX/X som rekonstriktions-
pulssvar (ogillar att många vill kalla detta för ett filter. Det är det inte).

Dock måste SinX/X represeteras av ett oändligt antal termer för att man
skall få en exakt siffra för överslängens storlek om inte, så på så vis är väl
kanske inte vinsten så stor med avseende på beräkningens komplexitet.
Dock är det, för de flesta nog mycket lättare att intuitivt förstå varför det
blir som det blir om man räknar på ett enskildt steg på det viset.
Allt blir ju liksom helt självklart då.

Man kan säga att man på så vis räknar på en oändligt låg frekvens istället
för att räkna med ett oändligt antal övertoner. Men kvoten är i båda fall
oändligheten, så resultatet blir lika.

Ok, nu blev jag förkryllad. Du säger att maxvärdet nås med fyrkantvåg, gärna en sådan med låg frekvens, tex så låg att den bara blir ett enda steg.

Nej det skrev jag inte.

Jag skrev på ett ställe om att överslängen (som inte har med Gibbs fenomen
attgöra) blir större än Gibbs fenomens översläng.

Och sen skrev jag även ett PS som redogjorde för ett alternativs sätt att be-
räkna eller betrakta Gibbs fenomen.

Du verkar blanda ihop dessa texter med varandra.

Men om det fått dig att tänka (och inse att överslängen av en LP-funktion
kan bli större än Gibbs fenomen, så utmärkt! Du skrev ju tidigare att Gibbs
fenomen anger maxvärdet, vilket alltså är fel.

Så kan det väl inte vara, tänkte jag. Att lågpassa en fyrkantvåg måste ju vara samma sak som att bygga upp en fyrkantvåg med ett ändligt antal sinusar, och de borde därmed få lika stor ringning. Men jag missade en sak.

Jag syntetiserade just en 10 Hz "fyrkantvåg" med 500 deltoner och samplingsfrekvensen 100000 Hz. Jag ställde in nivån på sinusarna så att amplituden på fyrkantvågen blev +/- 1 i de plana partierna. Toppvärdet blev då 1,19. Språnget som signalen tar är 2 stort, så här har vi en overshoot på 9,5%. Lite mer än Gibbs konstant, men nära nog.

Sen vände jag på det hela i stället och gjorde en signal samplad med 10000 Hz och laddade den med en digital fyrkantvåg. Sen samplade jag upp den med superduperinställningar på min omsamplare och då fick jag ett största värde på 1,28. Hmm, vad i helvitte.

En spektralanalys ger dock förklaringen. Den digitala fyrkantvågens spektrum faller inte med 6 dB/oktav som jag hade väntat mig. Den är i stället drabbad av "vikningsdistorsion" som gör att de högre deltonerna är lite för starka. Det gör att ringningen, som ju "består av frekvenser nära brytfrekvensen" får mer energi, ringningen blir kraftigare.

Intressant. Det verkar alltså som att marginalen man behöver är ungefär 1,28 ggr fyrkantvågens toppvärde, och inte 1,19 ggr toppvärdet som Gibbs fenomen ger.

Igen - Gibbs fenomen ger inget svar på frågan överhuvudtaget. Det är bara
en upptäckt av att en oändlig serie av övertoner skapar en fyrkantvåg med
under och översläng - trots att en sprktralanalys av en ideal fyrkantvåg visar
att den innehåller just dessa spektralkomponenter. Det kan anses vara något
kontraintuitivt, och därför har det fått ett namn - Gibbs fenomen.

Men det är riktigt att marginalen kan behöva vara något annat än 1,19 ggr
toppvärdet. Vilken marginal man behöver beror på vilken rekonstruktion man
valt. Även om man avstår ifrån dumheter som att använda en rekonstruktions-
puls med spektralt innehåll över halva samplingsfrekvensen, så finns det gott
om möjligheter att inom dessa förutsättningar välja olika lösningar som i sig
renderar olika översläng.

I synnerhet när det gäller system med samplingsfrekvenser avsevärt mycket
högre än 40 kHz är jag advokat för att välja en annan och bättre rekonstruk-
tionspuls än sinX/X.

(Inte för att det betyder något får vår hörsel, men för att det kan skapa lite
bättre förutsättningar för apparaterna senare i kedjan.)


Vh, iö

[Svante]

Ja, förstås finns det olika sätt att göra rekonstruktionsfilter, men det är inte det jag är ute efter. Jag undrar snarare: Om man har ett teoretiskt idealt rekonstruktionsfilter (alltså brickwall och nollfas upp till fs/2), vilken är den största möjliga överslängen? Och vilken är signalen som ger det? Är det fyrkantvågen?

...och med översläng menar jag då över full utstyrning på omvandlaren.

[IngOehman]

Det där känns lite som en fråga vars svar riskerar att strida mot första veten-
skapliga tesen. Eller går det på ett enkelt sätt att leda i bevis att något som
man hittar verkligen är worst case?

Ja, kanske, men jag skulle inte våga mig på det, inte just nu. .

Jag tror att värsta signalen är någon sorts kantig signal. Kanske inte en med
symmetri dock. Jag har inte sovit sedan i förrgår, så jag är lite trögtänkt just
nu. Och tyvärr får jag inte sova på ytterligare knappt 18 timmar...

Nåja.


Vh, iö

[Svante]

Igen - Gibbs fenomen ger inget svar på frågan överhuvudtaget. Det är bara en upptäckt av att en oändlig serie av övertoner skapar en fyrkantvåg med under och översläng - trots att en sprktralanalys av en ideal fyrkantvåg visar att den innehåller just dessa spektralkomponenter. Det kan anses vara något kontraintuitivt, och därför har det fått ett namn - Gibbs fenomen.

Fast nu har jag ju just observerat en spektral skillnad mellan fyrkantvågen och den "ideala digitala" fyrkantvågen. Den digitala signal som består an en följd -1: or följt av +1: or är behäftad med vikningsdistorsion. Man kan se den som en kraftigt överstyrd sinus, och när den överstyrs i den digitala domänen bildas deltoner som ligger över fs/2, dessa viks ner och adderas till deltonerna under fs/2 och därför uppstår en spektral skillnad mellan den digitala fyrkantvågen och motsvarande samplade analoga. Därför blir ringningen annorlunda om man bandbegränsar en analog fyrkantvåg, mot om man samplar upp en digitalt genererad fyrkantvåg.

... och följdfrågan blir förstås, hur stor kan överslängen bli, givet att vi hittar värsta tänkbara digitala sampelsekvens?

Vi kan begränsa oss till ideala det rekonstruktionsfiltret.

[sebatlh]

Wikipedia verkar vara en lösning på spåren:

If a function is square-integrable on the interval [x0, x0+P], then the Fourier series converges to the function at almost every point. In engineering applications, the Fourier series is generally presumed to converge everywhere except at discontinuities, since the functions encountered in engineering are more well behaved than the ones that mathematicians can provide as counter-examples to this presumption. In particular, the Fourier series converges absolutely and uniformly to s(x) whenever the derivative of s(x) (which may not exist everywhere) is square integrable.

En fyrkantspuls har ju lite lurig derivata...

[Naqref]

Wikipedia verkar vara en lösning på spåren:

If a function is square-integrable on the interval [x0, x0+P], then the Fourier series converges to the function at almost every point. In engineering applications, the Fourier series is generally presumed to converge everywhere except at discontinuities, since the functions encountered in engineering are more well behaved than the ones that mathematicians can provide as counter-examples to this presumption. In particular, the Fourier series converges absolutely and uniformly to s(x) whenever the derivative of s(x) (which may not exist everywhere) is square integrable.

En fyrkantspuls har ju lite lurig derivata...

Morello nämnde detta tidigare.

[Svante]

Wikipedia verkar vara en lösning på spåren:

If a function is square-integrable on the interval [x0, x0+P], then the Fourier series converges to the function at almost every point. In engineering applications, the Fourier series is generally presumed to converge everywhere except at discontinuities, since the functions encountered in engineering are more well behaved than the ones that mathematicians can provide as counter-examples to this presumption. In particular, the Fourier series converges absolutely and uniformly to s(x) whenever the derivative of s(x) (which may not exist everywhere) is square integrable.

En fyrkantspuls har ju lite lurig derivata...

Mhmm... Fast om man tittar på vad fourierserien konvergerar emot vid diskontinuiteten vid t=0 så är det 0. Så om man accepterar att fyrkantvågen har värdet 0 vid t=0 (och t=n*T) så konvergerar den ju mot fyrkantsvågens värde överallt.

Man kan förstås välja att säga att fyrkantvågen har värdet 1 vid t=0 och då konvergerar inte fourierserien mot fyrkantvågen.

[Morello]

Wikipedia verkar vara en lösning på spåren:

If a function is square-integrable on the interval [x0, x0+P], then the Fourier series converges to the function at almost every point. In engineering applications, the Fourier series is generally presumed to converge everywhere except at discontinuities, since the functions encountered in engineering are more well behaved than the ones that mathematicians can provide as counter-examples to this presumption. In particular, the Fourier series converges absolutely and uniformly to s(x) whenever the derivative of s(x) (which may not exist everywhere) is square integrable.

En fyrkantspuls har ju lite lurig derivata...

Ett annat ord är: diskontinuerlig.

[Komorok]

Kan ingen ta tag i detta? Vad betyder det?

Då kan ju du som fattar visa för oss andra hur du utför en DFT på fyrkantsvågen:

Dvs, jag vill att du matematiskt visar hur du applicerar


på signalen



och dessutom beräknar det analytiska resultatet för Xk

Uppenbarligen klarar du ju inte av att göra det numeriskt, och då finns det bara ett analytiskt möjlig lösning på problemet.
Jag vill BARA ha ett matematiskt svar , helt ointresserad av massa snack.
DFT duger för mig, men vill du hellre visa det för en FFT istället så går det bra. Om du vill använda en annan matematisk beskrivning av fyrkantsvågen så är det ok så länge den är tidskontinuerlig.

Antingen är beviset rätt, eller så är det fel. Mycket enkelt.

[Morello]

Det var ju en uppgift för Ingvar som hävdade att det går att göra en FFT på en tidskontinuerlig signal.

[Komorok]

Det var ju en uppgift för Ingvar som hävdade att det går att göra en FFT på en tidskontinuerlig signal.

Och det går alltså inte? Jag vet inte, det är därför jag frågar.

Tidskontinuerlig? Betyder det att det är en signal som upprepar sig? Typ som en sinus?

[Morello]

Det betyder att den inte är samplad, dvs kontinuerlig i tiden.