Gibbs fenomen

[Komorok]

Det betyder att den inte är samplad, dvs kontinuerlig i tiden.

Inte ett intervall med andra ord?

Ursäkta dumfrågorna, men jag är rätt dålig på detta .

[Nattlorden]

Tidskontinuerlig? Betyder det att det är en signal som upprepar sig? Typ som en sinus?

Nej, det betyder att den finns hela tiden utan avbrott.

FFT gör man på tidsdiskret material, dvs som samplats vid vissa tidpunkter enbart.

[Morello]

Det betyder att den inte är samplad, dvs kontinuerlig i tiden.

Inte ett intervall med andra ord?

Ursäkta dumfrågorna, men jag är rätt dålig på detta .

http://mathworld.wolfram.com/ContinuousFunction.html

Mathworld är för vörigt en mycket bra sida

[PerStromgren]

Det betyder att den inte är samplad, dvs kontinuerlig i tiden.

Inte ett intervall med andra ord?

Ursäkta dumfrågorna, men jag är rätt dålig på detta .

http://mathworld.wolfram.com/ContinuousFunction.html

Mathworld är för vörigt en mycket bra sida

Det där var ett rätt taskigt svar, Morello! Det är uppenbart att vår kompis K inte är van vid den matematiska begreppsapparat du (vi) använder. Att ge honom rådet att läsa webbsidan du länkar till tycker jag i ljuset av detta är rätt hånfullt.

[petersteindl]

Vilken sjuhelvetiskt djävla bra tråd!

Mvh
Peter

Jag tycker tråden är ganska kass och bluddrig på klassiskt faktiskt-vis. Ytterst få orkar öppna matematikboken och studera, men väljer istället att bluddra samt behandla ämnet anekdotiskt.

Jamen, det är ju just det som är en ingrediens som gör den så bra Fast det behövs flera ingredienser och dessa finns för närvarande också i tråden.

Att följa människors tankar som tänker högt innebär att man följer en slags kunskapsevolution och en massa ideer på vägen som förhoppningsvis leder framåt.

Det är knappast några duvungar som tänker högt i tråden och att ens våga tänka högt ger jag en eloge för.

Bland en massa fina inlägg tycker jag t.ex. att Komoroks inlägg var konstruktivt och effektivt. "Dra ner nivån i Oppon" Det kan ju kanske betraktas som en tumregel, men innan saker är helt och hållet utrett och förstått så verkar nivåsänkning i digital domän ett effektivt alternativ om man vill undvika vissa problem. Men vilka nivåer skall man i så fall ligga på för att vara säker på att aldrig överstyra eller få vikningsdistorsion? En annan fråga är om det har någon praktisk betydelse.

Mvh
Peter

[IngOehman]

Om man menar att skilja mellan praktisk och teoretisk så tycker jag det är
bättre att säga just det. Men ingenjörer förmodas ha en kunskap om den
matematik som de använder för sitt arbete - och det kan finnas fall då det
är den enda signifikanta skillnaden mellan en ingenjör och en hantverkare.

Den senare förmodas utgå ifrån regelverk, den förstnämnda förmodas ha
kunskaper att kunna räkna ut hur allt skall vara.

Det var ju en uppgift för Ingvar som hävdade att det går att göra en FFT på en tidskontinuerlig signal.

Jag skrev att man kan omvandla en tidskontinuerlig signal till en tidsdiskret och
sen låta samplingsfrekvensen för att göra det gå mot oändligheten.

Gör man det så finner man att en fyrkantvåg består av grundton plus alla udda
deltoner, med en amplitud om Fd/Fg gånger grundtonens amplitud för respektive
delton.

Men trots det så ger en summering av grundton + oändligt många deltoner av
just dessa amplituder inte en fyrkantvåg - utan det blir under- och överslängar
(vars utsträckning i tiden och därmed ävenden proportionella felarean går mot
1/oändligheten) och detta fenomen kallas Gibbs fenomen.

Skall detta vara så svårt?


Vh, iö

[Nattlorden]

Nope, det gick inte in tror jag.

Det enda jag får ut är att funktionen måste få ett värde när x=0 om den ska vara tidskontinuerlig. Men det kan ju vara felförstått.

Överdrivet tydlig förklaring om skillnaden mellan kontinuerlig och diskret:

[Komorok]

Det var ju en uppgift för Ingvar som hävdade att det går att göra en FFT på en tidskontinuerlig signal.

Jag skrev att man kan omvandla en tidskontinuerlig signal till en tidsdiskret och
sen låta samplingsfrekvensen för att göra det gå mot oändligheten.

Gör man det så finner man att en fyrkantvåg består av grundton plus alla udda
deltoner, med en amplitud om Fd/Fg gånger grundtonens amplitud för respektive
delton.

Men trots det så ger en summering av grundton + oändligt många deltoner av
just dessa amplituder inte en fyrkantvåg - utan det blir under- och överslängar
(vars utsträckning i tiden och därmed ävenden proportionella felarean går mot
1/oändligheten) och detta fenomen kallas Gibbs fenomen.

Skall detta vara så svårt?


Vh, iö

Tydligen... Lilltroll vill iaf se när du applicerar en skojig formel där både pi, e och i trängs om utrymmet med en annan ännu skojigare formel .

Och efter att ha förstått att jag borde plugga mer matte så är jag mest sugen på att se vem som hystar ur sig den längsta formelharangen och sitta förundrad över hur man knappar fram dem på tangentbordet.

[petersteindl]

Det var ju en uppgift för Ingvar som hävdade att det går att göra en FFT på en tidskontinuerlig signal.

Och det går alltså inte? Jag vet inte, det är därför jag frågar.

Tidskontinuerlig? Betyder det att det är en signal som upprepar sig? Typ som en sinus?

Jag ser tidskontinuitet så här, en sinus i den analoga domänen är tidskontinuerlig. För varje tidpunkt finns det ett och endast ett värde på amplituden.

Hur är det då med en fyrkantvåg? I själva språnget, vilket värde har amplituden där? Om amplituden t.ex. kan anta två värden så är den inte tidskontinuerlig, lika lite som om det t.ex. inte finns något definierat värde på amplituden eller om det saknas värde.

Då man samplar en tidskontinuerlig funktion som ändock gör ett språng så tror jag att man måste se upp. Vad händer i språnget? Vilket värde skall samplingen t.ex. representera i språnget? Den enklaste lösningen är att filtrera. Man får då ett klart definierat språng under förutsättning att filtreringen gör så att språnget blir definierat med den sampling man tänkt använda sig av.

Ja, det är mina egna tankar utan att egentligen ha läst på. Frågeställningen går med största säkerhet att ge ett korrekt och entydigt matematiskt svar på, men matematiska svar har åtminstone jag enklare att förstå om jag tänkt till lite innan facit ges oavsett om jag tänkt rätt eller fel.

Mvh
Peter

[sebatlh]

Morello nämnde detta tidigare.

Ja det gjorde han ja. Missade det.

Mhmm... Fast om man tittar på vad fourierserien konvergerar emot vid diskontinuiteten vid t=0 så är det 0. Så om man accepterar att fyrkantvågen har värdet 0 vid t=0 (och t=n*T) så konvergerar den ju mot fyrkantsvågens värde överallt.

Man kan förstås välja att säga att fyrkantvågen har värdet 1 vid t=0 och då konvergerar inte fourierserien mot fyrkantvågen.

Tänkte skriva något här men blev bara förvirrad :D
Men t=0 är väl inte så intressant? t->0 är väl mer intressant?

Som Morello var inne på så skiljer sig fyrkantvågens och fourierseriens derivata. Fyrkantvågens derivata är 0 i alla punkter förutom t=n*T där den är odefinierad (eller hur?), medans fourierseriens derivata blir
4/pi sum(pi/T*cos(n*pi*t/T)), n=1,3,5...

Så, om derivatan inte är identiska, kan funktionerna verkligen vara identiska då? Om funktionsvärdet är samma överallt så bör även
lim(x->0) f(t+x) - f(t) / x vara samma överallt, vilket strider mot att den ena har en diskontinuerlig derivata medans den andres derivata är kontinuerlig och väldefinierad (den går att skriva ner i varje fall...).

Eller gör jag bort mig om jag antar att summan av oändligt många kontinuerliga funktioner även den är kontinuerlig?

Men det här är ju bara argument för att fourierserien och fyrkantsvågen inte är identiskt lika. Vad som händer med överslängen återstår. Tycker bara att det vore väldigt märkligt att gränsvärdet säger en sak men den oändliga serien en annan. Jag får väl göra som Morello säger, öppna matteböckerna och sluta flumma :)

[Komorok]

Det var ju en uppgift för Ingvar som hävdade att det går att göra en FFT på en tidskontinuerlig signal.

Och det går alltså inte? Jag vet inte, det är därför jag frågar.

Tidskontinuerlig? Betyder det att det är en signal som upprepar sig? Typ som en sinus?

Jag ser tidskontinuitet så här, en sinus i den analoga domänen är tidskontinuerlig. För varje tidpunkt finns det ett och endast ett värde på amplituden.

Hur är det då med en fyrkantvåg? I själva språnget, vilket värde har amplituden där? Om amplituden t.ex. kan anta två värden så är den inte tidskontinuerlig, lika lite som om det t.ex. inte finns något definierat värde på amplituden eller om det saknas värde.

Då man samplar en tidskontinuerlig funktion som ändock gör ett språng så tror jag att man måste se upp. Vad händer i språnget? Vilket värde skall samplingen t.ex. representera i språnget? Den enklaste lösningen är att filtrera. Man får då ett klart definierat språng under förutsättning att filtreringen gör så att språnget blir definierat med den sampling man tänkt använda sig av.

Ja, det är mina egna tankar utan att egentligen ha läst på. Frågeställningen går med största säkerhet att ge ett korrekt och entydigt matematiskt svar på, men matematiska svar har åtminstone jag enklare att förstå om jag tänkt till lite innan facit ges oavsett om jag tänkt rätt eller fel.

Mvh
Peter

Så om antalet övertoner som används i fyrkantsvågen går mot oändligheten så går derivatan i språnget också mot oändligheten och då blir definierandet av värdet svårt att göra och då är kanske inte funktionen tidskontinuerlig längre?

[IngOehman]

Vilken sjuhelvetiskt djävla bra tråd!

Mvh
Peter

Jag tycker tråden är ganska kass och bluddrig på klassiskt faktiskt-vis. Ytterst få orkar öppna matematikboken och studera, men väljer istället att bluddra samt behandla ämnet anekdotiskt.

Jag har inte sett något annat inlägg än Svantes där han berättade att han
hade testat vilken översläng han fick, och jag tycker inte ens att det var ett
dåligt inlägg.

Det var ju inte bara anekdotiskt utan det funderade runt fynden också.

- - -

Typiskt anektodiskt inlägg som skulle kunna läggas i denna tråd:

"Jag känner en kille som säger att CD är dåligt på grund av överslängarna
på en fyrkantvåg, och han visade att han har rätt genom att spela vinyl."

Så vitt jag har sett han anekdotiska inlägg lyst med sin frånvaro.


Vh, iö

- - - - -

PS. Jag håller med om att tråden är rätt så kass. Ingenting nytt har kommit
fram sedan jag postade synpunkten om det felanvända begreppet "Gibbs
fenomen" i artikeln*. Bara en massa runtprat och struntprat istället för att
säga att det var fel och att rättelse kommer i nästa nummer.

*Allt som sagts om Gibbs fenomen har dessutom sagts tidigare på faktiskt,
för många år sedan. Kanske till och med flera gånger tidigare.

[PerStromgren]

Jag tycker att ni blandar ihop två närliggande begrepp.

En kontinuerlig funktion (oavsett vad den oberoende variabeln kallas) har en tydlig matematisk definition, som enkelt uttryck innebär att funktionen inte har några språng i y-led.

En tidskontinuerlig signal är till skillnad från en tidsdiskret, en signal som har definierade värden för alla tidpunkter, oavsett hur tätt man tittar. En tiddiskret signal finns bara i "samplade" tidpunkter (oftast med jämna mellanrum), och är inte definierad utanför dessa.

[IngOehman]

Jadå, det kan den visst vara.

I form av vad den representerar. (Läs på om samplingsteoremet om du
har lust.)

En tidsdiskret representation av t ex en musiksignal gör det i allra högsta
grad är väldefinerat hur musiksignalen ser ut i varje ögonblick i tiden.


Vh, iö

- - - - -

PS. På sätt och vis är ljud därvidlag lättare än bild eftersom det är så pass
självklart att en harmonisk rekonstruktion är rätt för ljud. För bild är det
mycket svårare och en rekonstruktion som ger spegelfrekvenser kan vara
mera korrekt än en som ger vågningar. Man måste i bildvärlden dessutom
minnas att det inte finns någon rekonstruktion efter sista steget, pixlarna.
Men det skulle kunna finnas det. T ex i form av en sudd-film.

[Komorok]

Jadå, det kan den visst vara.

I form av vad den representerar. (Läs på om samplingsteoremet om du
har lust.)

En tidsdiskret representation av t ex en musiksignal gör det i allra högsta
grad är väldefinerat hur musiksignalen ser ut i varje ögonblick i tiden.


Vh, iö

Fast bara upp till en viss frekvens om jag förstått det hela rätt?

[Morello]

Jag tycker att ni blandar ihop två närliggande begrepp.

En kontinuerlig funktion (oavsett vad den oberoende variabeln kallas) har en tydlig matematisk definition, som enkelt uttryck innebär att funktionen inte har några språng i y-led.

En tidskontinuerlig signal är till skillnad från en tidsdiskret, en signal som har definierade värden för alla tidpunkter, oavsett hur tätt man tittar. En tiddiskret signal finns bara i "samplade" tidpunkter (oftast med jämna mellanrum), och är inte definierad utanför dessa.

Blanda inte in fysikaliska storheter i detta. De har itne med saken att slaffa öht.

[IngOehman]

Håller delvis med.

Jadå, det kan den visst vara.

I form av vad den representerar. (Läs på om samplingsteoremet om du
har lust.)

En tidsdiskret representation av t ex en musiksignal gör det i allra högsta
grad är väldefinerat hur musiksignalen ser ut i varje ögonblick i tiden.


Vh, iö

Fast bara upp till en viss frekvens om jag förstått det hela rätt?

Ja, så kan man se det, men jag ser det nog hellre som att det är själva
musiksignalen som bara är definierad/representerad upp till en viss frek-
vens. Och så behöver det vara redan innan den samplades*.


Vh, iö

- - - - -

*Vilket är en halvsanning, men den får duga för nu.

[Komorok]

Det duger för mig. Behöver man en definition högre upp i frekvens så ökar man väl bara samplingsfrekvensen typ.

[Morello]

En kontinuerlig funktion har den egenskapen att om man närmar sig en godtycklig punkt A där A ingår i funktionens definitonsmängd, så är funktionerns gränsvärde lika med funktionsvärdet i A (f(A)).

Detta var den anekdotiska framställningen.

En mer matematisk framsätllning skulle kunna se ut så här

lim (z->A)f(z)=f(A)



Samt återigen, det finns ingen anledning att tala om "musiksignal", "tid" eller "amplitud", "grundton" etc. Förstå teorin först och applicera den DÄREFTER på problem.

[Komorok]

En kontinuerlig funktion har den egenskapen att om man närmar sig en godtycklig punkt A där A ingår i funktionens definitonsmängd, så är funktionerns gränsvärde lika med funktionsvärdet i A (f(A)).

Detta var den anekdotiska framställningen.

En mer matematisk framsätllning skulle kunna se ut så här

lim (z->A)f(z)=f(A)

Jag förstod nu !

[DQ-20]

Det låter som du just avskaffade Gibbs fenomen?

Nja, Gibbs fenomen är ju vägen till avskaffandet.

Alltså, jag kanske kämpar mot bättre vetande här, men det vore roligt med en förklaring till hur en funktion som bara kan anta värdena -1, 0 och 1 kan ha värdet 1,19.

Jag har inget annat förslag än att du läser det matematiska beviset som Bôcher skrev 1906 och som bl.a. Carslaw refererar till. Eller någon modern text om fenomenet. Länk till Bôcher finns i ett tidigare inlägg. Vad Bôcher hävdar EXPLICIT är att fram till Gibbs publicerade sina artiklar i Nature 1898 och 1899 trodde alla att det blir som du verkar tro.

För mig är det här ytterligare en trist IÖ och Svante-tråd som började med att IÖ inkompetensförklarade Svante som hade skrivit att ringningarna som som syns i bilderna i MoLt benämns Gibbs fenomen. Det var lite som när Love idiotförklarade Michelson i Nature - inget nytt under solen. Detta gjorde IÖ med hänvisning till en egendomligt strikt tolkning av begreppet, trots att Svantes användning ligger i linje med hur det används inom bl.a. MR-litteraturen där fenomenet (overshootet) är ett verkligt problem. Det ligger också i linje med den ursprungliga frågan som var ungefär "Mina ringningar försvinner inte när jag adderar fler termer i min mekaniska Harmonic Analyzer. Jag är uppe i 50 termer och det ringer fortfarande. Vad göra? Svar till, Undrande." Sedan skrev IÖ FFT när det tydligen var fel i sammanhanget och självklart fick han det dängt i skallen som betalt för gammal ost. Här skall avkrävas svar trots att inget svar finns! Lilltroll to the rescue. Sedan började Svante sin vana trogen tänka högt i klassisk empirisk stil och gjorde ett fulhack och simulerade något, fan vet vad.

Det enda jag har lärt mig från tråden är det som IÖ skriver när han nämner att DA-tillverkarna är åtminstone delvis medvetna om problemet men att a) tillverkarna vill inte "ta höjd" för detta eftersom det försämrar prestanda på pappret och b) det är en förbättring av tveksamt empiriskt värde eftersom problemet sällan uppstår med musiksignaler. Jag har lärt mig en hel del annat också som en konsekvens av den här tråden, men inte från den.

/DQ-20

[Morello]

En kontinuerlig funktion har den egenskapen att om man närmar sig en godtycklig punkt A där A ingår i funktionens definitonsmängd, så är funktionerns gränsvärde lika med funktionsvärdet i A (f(A)).

Detta var den anekdotiska framställningen.

En mer matematisk framsätllning skulle kunna se ut så här

lim (z->A)f(z)=f(A)

Jag förstod nu !

[petersteindl]

Det låter som du just avskaffade Gibbs fenomen?

Nja, Gibbs fenomen är ju vägen till avskaffandet.

Alltså, jag kanske kämpar mot bättre vetande här, men det vore roligt med en förklaring till hur en funktion som bara kan anta värdena -1, 0 och 1 kan ha värdet 1,19.

Jag har inget annat förslag än att du läser det matematiska beviset som Bôcher skrev 1906 och som bl.a. Carslaw refererar till. Eller någon modern text om fenomenet. Länk till Bôcher finns i ett tidigare inlägg. Vad Bôcher hävdar EXPLICIT är att fram till Gibbs publicerade sina artiklar i Nature 1898 och 1899 trodde alla att det blir som du verkar tro.

För mig är det här ytterligare en trist IÖ och Svante-tråd som började med att IÖ inkompetensförklarade Svante som hade skrivit att ringningarna som som syns i bilderna i MoLt benämns Gibbs fenomen. Det var lite som när Love idiotförklarade Michelson i Nature - inget nytt under solen. Detta gjorde IÖ med hänvisning till en egendomligt strikt tolkning av begreppet, trots att Svantes användning ligger i linje med hur det används inom bl.a. MR-litteraturen där fenomenet (overshootet) är ett verkligt problem. Det ligger också i linje med den ursprungliga frågan som var ungefär "Mina ringningar försvinner inte när jag adderar fler termer i min mekaniska Harmonic Analyzer. Jag är uppe i 50 termer och det ringer fortfarande. Vad göra? Svar till, Undrande." Sedan skrev IÖ FFT när det tydligen var fel i sammanhanget och självklart fick han det dängt i skallen som betalt för gammal ost. Här skall avkrävas svar trots att inget svar finns! Lilltroll to the rescue. Sedan började Svante sin vana trogen tänka högt i klassisk empirisk stil och gjorde ett fulhack och simulerade något, fan vet vad.

Det enda jag har lärt mig från tråden är det som IÖ skriver när han nämner att DA-tillverkarna är åtminstone delvis medvetna om problemet men att a) tillverkarna vill inte "ta höjd" för detta eftersom det försämrar prestanda på pappret och b) det är en förbättring av tveksamt empiriskt värde eftersom problemet sällan uppstår med musiksignaler. Jag har lärt mig en hel del annat också som en konsekvens av den här tråden, men inte från den.

/DQ-20

Det gällde 90-talet med begränsningarna som var då. Idag skulle jag nog säga att begränsningarna är betydligt mindre och då kan man konstruera med annan inriktning.

Mvh
Peter

[PerStromgren]

Jag tycker att ni blandar ihop två närliggande begrepp.

En kontinuerlig funktion (oavsett vad den oberoende variabeln kallas) har en tydlig matematisk definition, som enkelt uttryck innebär att funktionen inte har några språng i y-led.

En tidskontinuerlig signal är till skillnad från en tidsdiskret, en signal som har definierade värden för alla tidpunkter, oavsett hur tätt man tittar. En tiddiskret signal finns bara i "samplade" tidpunkter (oftast med jämna mellanrum), och är inte definierad utanför dessa.

Blanda inte in fysikaliska storheter i detta. De har itne med saken att slaffa öht.

Jag tyckte att du nämnde "tidskontinuerlig" någonstans där i ett inlägg. Tid är ju en fysikalisk storhet.

Jag försöker se till att skilja på det matematiska och det fysikaliska.

"A continuous signal or a continuous-time signal is a varying quantity (a signal) whose domain, which is often time, is a continuum (e.g., a connected interval of the reals)." / Wickan.

Jag hävdar fortfarande att vi talar om två begrepp.

[Nattlorden]

Jag tyckte att du nämnde "tidskontinuerlig" någonstans där i ett inlägg. Tid är ju en fysikalisk storhet.

Jag försöker se till att skilja på det matematiska och det fysikaliska.

"A continuous signal or a continuous-time signal is a varying quantity (a signal) whose domain, which is often time, is a continuum (e.g., a connected interval of the reals)." / Wickan.

Jag hävdar fortfarande att vi talar om två begrepp.

tidskontinuerlig är ju enbart markering för att det är tid vi har på den axeln som signalen/funktionen skall vara kontinuerlig längs.

Hade det varit en x-axel i diagrammet så hade den alltså varit xkontinuerlig.

[PerStromgren]

Jag tyckte att du nämnde "tidskontinuerlig" någonstans där i ett inlägg. Tid är ju en fysikalisk storhet.

Jag försöker se till att skilja på det matematiska och det fysikaliska.

"A continuous signal or a continuous-time signal is a varying quantity (a signal) whose domain, which is often time, is a continuum (e.g., a connected interval of the reals)." / Wickan.

Jag hävdar fortfarande att vi talar om två begrepp.

tidskontinuerlig är ju enbart markering för att det är tid vi har på den axeln som signalen/funktionen skall vara kontinuerlig längs.

Hade det varit en x-axel i diagrammet så hade den alltså varit xkontinuerlig.

Vi pratar om en funktion som inte är kontinuerlig i sin domän, inte en funktion som inte är kontinuerlig i sitt funktionsvärde. Jag tycker att det är två saker, tycker inte du det?

Jämför dessa två grafer.

[Morello]

Hade det varit en x-axel i diagrammet så hade den alltså varit xkontinuerlig.

Nej, så kan man inte säga.

[Nattlorden]

Hade det varit en x-axel i diagrammet så hade den alltså varit xkontinuerlig.

Nej, så kan man inte säga.

Se ovan, det gick precis hur bra som helst.

[Morello]

Hade det varit en x-axel i diagrammet så hade den alltså varit xkontinuerlig.

Nej, så kan man inte säga.

Se ovan, det gick precis hur bra som helst.

Men det är gallimatias.

[Nattlorden]

Men det är gallimatias.

Inte om måltavlan är populärvetenskaplig snarare än matematisk.