Gibbs fenomen

[DQ-20]

Detta är en avdelad tråd från MOLT-tråden.
Följande post från DQ-20 är en lämplig avspark för debatten som följer.


/K12

En annan lustighet är att vågningen på en med sinX/X-rekonstruerad fyr-
kantvåg i samma nummer av MoLt beskrivs som Gibbs fenomen!

Gibbs fenomen är upptäckten av något helt annat.

Jag tycker det snarare handlar om tolkningar av upptäckten. Implikationer och sån't. En implikation är att när man utökar ett FINIT antal termer för att bygga en fyrkantsvåg kommer överslänget att tryckas närmare flankerna men BESTÅR i amplitud. Det var tydligen det som Gibbs själv var intresserad av - själva konvergensen. Det matematiska beviset handlar, om jag uppfattat saken rätt, om att det blir så hur många termer vi än lägger till. Och eftersom denna effekt alltid finns när man försöker återskapa en fyrkantsvåg genom att summera sinusformade toner måste man alltid ta hänsyn till detta när man bygger omvandlarna.

Eller har jag missat något?

/DQ-20

[Svante]

En annan lustighet är att vågningen på en med sinX/X-rekonstruerad fyr-
kantvåg i samma nummer av MoLt beskrivs som Gibbs fenomen!

Gibbs fenomen är upptäckten av något helt annat.

Jag tycker det snarare handlar om tolkningar av upptäckten. Implikationer och sån't. En implikation är att när man utökar ett FINIT antal termer för att bygga en fyrkantsvåg kommer överslänget att tryckas närmare flankerna men BESTÅR i amplitud. Det var tydligen det som Gibbs själv var intresserad av - själva konvergensen. Det matematiska beviset handlar, om jag uppfattat saken rätt, om att det blir så hur många termer vi än lägger till. Och eftersom denna effekt alltid finns när man försöker återskapa en fyrkantsvåg genom att summera sinusformade toner måste man alltid ta hänsyn till detta när man bygger omvandlarna.

Eller har jag missat något?

/DQ-20

Nej, det tror jag inte, det är ungefär min tolkning av fenomenet också. Alltså, hur hög samplingsfrekvens man än har (alternativt hur låg frekvens än fyrkantvågen har) så måste man dimensionera efterföljande elektronik för en översläng. Denna översläng har dessutom ett väldefinierat maxvärde som brukar finnas nämnt när man pratar om Gibbs fenomen.

[IngOehman]

Igen - NEJ.

Gibbs fenomen är att överslängen inte försvinner* när antalet övertoner
går mot oändligheten.

Alltså oändligt fler än en miljard miljarder flera än det som kommer med i en
brickwall-funktion vis halva samplingsfrekvensen.

Och nej - det väldefinierade (max)värdet som är Gibbs fenomen, gäller INTE i
CD-spelarfallet, där överslängen kan bli större än så.

("max" skrivet inom parentes eftersom jag citerade ditt "maxvärdet", men att
det är ett maxvärde är partiellt fel, för Gibbs fenomen är ATT det blir en be-
stående översläng vid oändligt många övertoner tillagda, och "max" betyder
BARA att max-värdet är större än fyrkantsvågens tak. Inte att det är större
än det är när man adderat färre övertoner.)

*Men väl överslängens area.

Vi ska inte glömma att 668:an är snart 10år gammal och "bara" 16-bitars.

Alla spelare kan påstås vara "16-bitars" så länge man spelar CD. Och gör
man inte det så beror det på vad man spelar.

Och varför skall man minnas att 668:an är snart 10 år gammal? Vad har det
har med något att göra? Ljudkvaliteten är en faktor som inte rimligen kan
bedömas hårdare för att apparaten är gammal! Om något skulle man kunna
göra tvärtom, men att påstå att en apparat är sämre än den är för att den
har uppåt 10 år på nacken är ju heltokigt.

Vidare: 668 har inte en 16-bitars-DAC om det är det du försöker påskina.

Spelar du DVD-Audio så är det detta formats upplösning som spelas, och
upplösningen blir då, med 668, avsevärt högre än 16 bitar. Med SACD så är
det en annan sorts DA-process och det är då primärt i basen som upplös-
ningen blir störreän 16 bitar.

Men sammanfattningsvis så är det du skriver om 668 helt enkelt felaktigt.

Det är INTE en apparat begränsad till 16 bitar. Inte nog med att själva DACen
har mycket högre upplösning än 16 bitar - vilket inte är märkvärdigt, DACar
med >20-bitars upplösning har ju funnits sedan början av 90-talet!) men
668 är en på alla sätt äkta högupplöst apparaet - den kan alltså inte bara
översampla (vilket kan utnyttja en högre upplösning hos DACen) utan den
kan dessutom spela upp format med högre upplösning än 16 bitar. Flera olika
dessutom.

Jag är övertygad om att jag med rätt material och under bra lyssningsförhållanden skulle höra mycket tydlig skillnad.

Jag vet inte vad jag skall använda din övertygelse till.

Men nej vi pratar såklart inte om natt å dag skillnader som med högtalare, utan om om små små detaljer precis vid gränsen för vad jag kan detektera, men det förstår ni väll?

Hur tycker du själv att man skall tolka ord som:

"Bild och Ljudkvaliteten upplevde jag som helt fantastisk, milsvida bättre
än PS3 eller DV-668"?

Nu skriver du alltså att "milsvida bättre" inte skall tolkas ordagrant, utan
som "...precis på gränsen för vad du kan detektera"?


Vh, iö

[Svante]

Igen - NEJ.

Gibbs fenomen är att överslängen inte försvinner* när antalet övertoner går mot oändligheten.

Alltså oändligt fler än en miljard miljarder flera än det som kommer med i en brickwall-funktion vis halva samplingsfrekvensen.

Mja, detta blir en definitionsdebatt om vad Gibbs fenomen är. Du får nog styrka din ståndpunkt med källor om du ska övertyga mig om att din syn på vad Gibbs fenomen egentligen är är allmänt vedertagen.

Att något går mot oändligheten betyder fö inte att det är oändligt många, gåendet börjar ju med ett enda steg. Själva gåendet är en del i processen. Jag snor en wikipediaillustration som fanns på svenska sidan om Gibbs fenomen

En syntetiserad fyrkantvåg där Gibbs fenomen vid övergångarna blir tydligare när fler harmonier läggs till.

Man kan iofs ha synpunkter på ordet "harmonier" i texten, det är nog en felöversättning av engelskans "harmonics".

Och nej - det väldefinierade (max)värdet som är Gibbs fenomen, gäller INTE i CD-spelarfallet, där överslängen kan bli större än så.

Hur ska du ha det, är det själva maxvärdet som är Gibbs fenomen nu? Gibbs fenomen är alltså ~9%? Nyss var det mer ett begrepp:

Gibbs fenomen är att överslängen inte försvinner* när antalet övertoner går mot oändligheten.

Kanske är det så att man kan ha lite olika tolkningar om vad fenomenet egentligen är?

Men det är intressant att du säger att överslängen kan bli större med någon annan signal än en fullt utstyrd fyrkantsvåg. Vilken signal är det?

[DQ-20]

Att något går mot oändligheten betyder f ö inte att det är oändligt många, gåendet börjar ju med ett enda steg. Själva gåendet är en del i processen.

En snabb googling antyder att det var just detta gående mot oändligheten som intresserade Gibbs. Senare langade han in ett matematiskt bevis till tidskriften, lite en passant, där han först publicerade sina resultat som visade att överslängen alltid blir kvar hur många termer man än adderar. Detta behandlades även av Bôcher. Jag tolkar detta som att det är själva "gåendet" som är själva "fenomenet" och att detta har flera implikationer, t.ex. storleken på överslängen och att den alltid kommer att finnas. Problemet verkar ha studerats ingående inom magnetröntgen. Så här beskrivs det på
http://www.mr-tip.com/serv1.php?type=db ... Phenomenon

"In mathematics, the Gibbs phenomenon (also known as ringing artifacts, named after the American physicist J. Willard Gibbs) is the peculiar manner in which the Fourier series of a piecewise continuously differentiable periodic function f behaves at a jump discontinuity: the nth partial sum of the Fourier series has large oscillations near the jump, which might increase the maximum of the partial sum above that of the function itself. The overshoot does not die out as the frequency increases, but approaches a finite limit."

Här nämns "the nth partial sum" (som jag tolkar som en finit summa), "overshoot" och "approaches a finit limit". Detta tolkar jag som att det finns flera aspekter på fenomenet. Men jag erkänner (nästan för) villligt att jag är dilettant. Texten hänvisar till Carslaw.

Carslaw (1925)* skriver "but this vertical line has to be produced beyond these points by an amount that bears a definite ratio to the magnitude of the jump. Bôcher gave the name "Gibbs' phenomenon" to this property of the approximation curves of the Fourier's series." Här verkar det vara själva överslänget och dess storlek som är i fokus.

Ja, nu vet jag varken ut eller in eftersom jag just är en dilettant. Dags för någon som inte tycker sig vara dilettant att hård-googla lite? Eller inte.

/DQ-20

*) Bull. Amer. Math. Soc. Volume 31, Number 8 (1925), 420-424

[Komorok]

Men oavsett vad fenomenet är kallat så verkar det iaf som att konstruktörerna av bdp105 missade att överslängen blir större än de räknat med pga detta fenomen? Och därför bör man aktivera volymkontrollen och minska volymen till 96 eller var det 97? Och då ryms efterslängen oklippt?

[DQ-20]

Men oavsett vad fenomenet är kallat så verkar det iaf som att konstruktörerna av bdp105 missade att överslängen blir större än de räknat med pga detta fenomen? Och därför bör man aktivera volymkontrollen och minska volymen till 96 eller var det 97? Och då ryms efterslängen oklippt?

Så har iallafall jag förstått texten.

/DQ-20

[Komorok]

Men oavsett vad fenomenet är kallat så verkar det iaf som att konstruktörerna av bdp105 missade att överslängen blir större än de räknat med pga detta fenomen? Och därför bör man aktivera volymkontrollen och minska volymen till 96 eller var det 97? Och då ryms efterslängen oklippt?

Så har iallafall jag förstått texten.

/DQ-20

Tack, då kan definitionsdebatten fortsätta utan att kärnan i det hela gås förbi helt .

[lilltroll]

är den att om man gör en FFT på en teoretiskt ideal fyrkantvåg så
finner man att

det inte går.

Den ideala fyrkantsvågen är tidskontinuerlig, en FFT tar endast en tidsdiskret signal som in-argument.

För att det ska vara möjligt så måste den tidskont. signalen först samplas, och om korrekt rekonstruktion ska vara möjlig så måste signalen bandbregränsas innan den samplas.
Den filtrerade signalen kommer då inte vara en ideal fyrkantsvåg längre.

Fourier-serie kan dock tillämpas på fyrkantsvågen.

[Morello]

Mycket bludder om Gibbs.

Om vi utgår från TEX. en fyrkantvåg som enkelt beskrivs med heavisides stegfunktion och sedan gör en Fourierutveckling (som per definition kommer att ha ett oändligt antal termer)* av densamma så inses efter en del matematikst bök att dessa funktioner kommer att avvika en smula - detta är Gibbs fenomen. Fyrkantvågen är som bekant en kontinuerlig funktion, men dess derivata är INTE det, varför problemen uppstår.



* varför detta bludder om antal termer saknar relevans.

[Svante]

är den att om man gör en FFT på en teoretiskt ideal fyrkantvåg så
finner man att

det inte går.

Den ideala fyrkantsvågen är tidskontinuerlig, en FFT tar endast en tidsdiskret signal som in-argument.

För att det ska vara möjligt så måste den tidskont. signalen först samplas, och om korrekt rekonstruktion ska vara möjlig så måste signalen bandbregränsas innan den samplas.
Den filtrerade signalen kommer då inte vara en ideal fyrkantsvåg längre.

Fourier-serie kan dock tillämpas på fyrkantsvågen.

Lilltroll!

[Svante]

Mycket bludder om Gibbs.

Om vi utgår från TEX. en fyrkantvåg som enkelt beskrivs med heavisides stegfunktion och sedan gör en Fourierutveckling (som per definition kommer att ha ett oändligt antal termer)* av densamma så inses efter en del matematikst bök att dessa funktioner kommer att avvika en smula - detta är Gibbs fenomen. Fyrkantvågen är som bekant en kontinuerlig funktion, men dess derivata är INTE det, varför problemen uppstår.



* varför detta bludder om antal termer saknar relevans.

Nja, har man oändligt antal termer så får man faktiskt exakt en fyrkantvåg. Alltså i den meningen att funktionen exakt stämmer överens i varje punkt med fyrkantvågen. Funktionen växlar mellan exakt +1 och -1 och precis i språnget har den värdet 0.

Men på vägen dit så finns Gibbs med hela tiden. På vägen ser man aldrig att ringningen minskar i amplitud, tvärtom konvergerar största toppens amplitud mot ungefär 1,09.

Så frågan är om ringningen verkligen finns om man har oändligt många termer. Ska man lita på gränsvärdet, alltså att toppens amplitud är ~1,09 eller ska man lita på att varje funktionsvärde man får fram stämmer exakt med fyrkantvågens?

Lite lurigt är det allt.

[DQ-20]

* varför detta bludder om antal termer saknar relevans.

Som sagt, "en del matematiskt bök" var allt som behövdes...

Men, alltså, Bôcher verkar i alla fall verkar höggradigt intresserad av konvergens. Flera av illustrationerna på nätet tar också fasta på detta där de i animerad form visar vad som händer när man adderar fler och fler termer. Det som "urkällorna" verkar kalla "Gibbs' phenomenon" är dels själva "overshootet", dels det faktum att det aldrig försvinner när n går mot oändligheten.*

För övrigt måste jag säga att dessa texter från runt 1900 är väldigt trevliga att läsa.

/DQ-20

*) EDIT: och når oändlighet.

[Morello]

Mycket bludder om Gibbs.

Om vi utgår från TEX. en fyrkantvåg som enkelt beskrivs med heavisides stegfunktion och sedan gör en Fourierutveckling (som per definition kommer att ha ett oändligt antal termer)* av densamma så inses efter en del matematikst bök att dessa funktioner kommer att avvika en smula - detta är Gibbs fenomen. Fyrkantvågen är som bekant en kontinuerlig funktion, men dess derivata är INTE det, varför problemen uppstår.



* varför detta bludder om antal termer saknar relevans.

Nja, har man oändligt antal termer så får man faktiskt exakt en fyrkantvåg. Alltså i den meningen att funktionen exakt stämmer överens i varje punkt med fyrkantvågen. Funktionen växlar mellan exakt +1 och -1 och precis i språnget har den värdet 0.

Men på vägen dit så finns Gibbs med hela tiden. På vägen ser man aldrig att ringningen minskar i amplitud, tvärtom konvergerar största toppens amplitud mot ungefär 1,09.

Så frågan är om ringningen verkligen finns om man har oändligt många termer. Ska man lita på gränsvärdet, alltså att toppens amplitud är ~1,09 eller ska man lita på att varje funktionsvärde man får fram stämmer exakt med fyrkantvågens?

Lite lurigt är det allt.

Först skriver du att man får en exakt fyrkantvåg, varpå du skriver att toppens amplitud konvergerar mot 1,09 - hur ska du ha det?

[bomellberg]

Mycket bludder om Gibbs.

Om vi utgår från TEX. en fyrkantvåg som enkelt beskrivs med heavisides stegfunktion och sedan gör en Fourierutveckling (som per definition kommer att ha ett oändligt antal termer)* av densamma så inses efter en del matematikst bök att dessa funktioner kommer att avvika en smula - detta är Gibbs fenomen. Fyrkantvågen är som bekant en kontinuerlig funktion, men dess derivata är INTE det, varför problemen uppstår.



* varför detta bludder om antal termer saknar relevans.

Nja, har man oändligt antal termer så får man faktiskt exakt en fyrkantvåg. Alltså i den meningen att funktionen exakt stämmer överens i varje punkt med fyrkantvågen. Funktionen växlar mellan exakt +1 och -1 och precis i språnget har den värdet 0.

Men på vägen dit så finns Gibbs med hela tiden. På vägen ser man aldrig att ringningen minskar i amplitud, tvärtom konvergerar största toppens amplitud mot ungefär 1,09.

Så frågan är om ringningen verkligen finns om man har oändligt många termer. Ska man lita på gränsvärdet, alltså att toppens amplitud är ~1,09 eller ska man lita på att varje funktionsvärde man får fram stämmer exakt med fyrkantvågens?

Lite lurigt är det allt.

Först skriver du att man får en exakt fyrkantvåg, varpå du skriver att toppens amplitud konvergerar mot 1,09 - hur ska du ha det?

Den kanske konvergerar ändligt, men ändrar sig abrubt från 1,09 till 1,00 när man når oändligheten.

[Morello]

Kanske? Gör den det eller ej?

Svar nej, översvängen försvinner inte då antal temer i foruierserien är oändligt och detta är alltså Gibbs fenomen. Detta är inget Gibbs hittade på, utan något han bevisade.

[DQ-20]

Först skriver du att man får en exakt fyrkantvåg, varpå du skriver att toppens amplitud konvergerar mot 1,09 - hur ska du ha det?

Kan det här vara något? Från http://www.jstor.org/stable/1967238?seq=51

"That the continuous curve y=S„(x) approaches a continuous curve as its limit, while the continuous function S„(x) approaches the discontinuous function f(x) as its limit seems at first sight paradoxical, but the paradox disappears when we recall exactly what we mean by saying that one function approaches another. "

Bästa hälsingar,

DQ-20 (D som i Dilettant)

PS. I vilket fall som helst finns ju fenomenet beskrivet i sin helhet i artikeln.

[DQ-20]

Kanske? Gör den det eller ej?

Svar nej, översvängen försvinner inte då antal temer i foruierserien är oändligt och detta är alltså Gibbs fenomen. Detta är inget Gibbs hittade på, utan något han bevisade.

Ja, eller i alla fall gjorde Bôcher det (generellt):

http://www.jstor.org/stable/1967238?seq=51

Där står det i alla fall att overshootet kvarstår ÄVEN när antalet termer är oändligt.

/DQ-20

[Morello]

Ok, så först kom Fourier, sedan upptäckte Gibbs vissa tillkortakommanden och Bocher förde Gibbs i bevis?

[Svante]

Kanske? Gör den det eller ej?

Svar nej, översvängen försvinner inte då antal temer i foruierserien är oändligt och detta är alltså Gibbs fenomen. Detta är inget Gibbs hittade på, utan något han bevisade.

Då infinner sig frågan, vid vilken tidpunkt inträffar ringningens topp?
Antar man att summan är en envärd funktion så måste svaret bli "aldrig".

Det är nog så att gränsvärdet för toppens höjd när antalet termer går mot oändligheten är 1,09. Toppen däremot upphör att existera när antalet termer är oändligt, värdet 1,09 uppnås inte vid någon tidpunkt.

[DQ-20]

Kanske? Gör den det eller ej?

Svar nej, översvängen försvinner inte då antal temer i foruierserien är oändligt och detta är alltså Gibbs fenomen. Detta är inget Gibbs hittade på, utan något han bevisade.

Då infinner sig frågan, vid vilken tidpunkt inträffar ringningens topp?
Antar man att summan är en envärd funktion så måste svaret bli "aldrig".

Det är nog så att gränsvärdet för toppens höjd när antalet termer går mot oändligheten är 1,09. Toppen däremot upphör att existera när antalet termer är oändligt, värdet 1,09 uppnås inte vid någon tidpunkt.

Jag tror du har fel, men jag kan ha fel. Kan du inte slå ett getöga på länken i mitt förra meddelande?

[Morello]

Kanske? Gör den det eller ej?

Svar nej, översvängen försvinner inte då antal temer i foruierserien är oändligt och detta är alltså Gibbs fenomen. Detta är inget Gibbs hittade på, utan något han bevisade.

Då infinner sig frågan, vid vilken tidpunkt inträffar ringningens topp?
Antar man att summan är en envärd funktion så måste svaret bli "aldrig".

Det är nog så att gränsvärdet för toppens höjd när antalet termer går mot oändligheten är 1,09. Toppen däremot upphör att existera när antalet termer är oändligt, värdet 1,09 uppnås inte vid någon tidpunkt.

Jag tror du har fel. Om det är som du säger skulle inte Gibbs fenomen excistera öht.

[DQ-20]

Kanske? Gör den det eller ej?

Svar nej, översvängen försvinner inte då antal temer i foruierserien är oändligt och detta är alltså Gibbs fenomen. Detta är inget Gibbs hittade på, utan något han bevisade.

Då infinner sig frågan, vid vilken tidpunkt inträffar ringningens topp?
Antar man att summan är en envärd funktion så måste svaret bli "aldrig".

Det är nog så att gränsvärdet för toppens höjd när antalet termer går mot oändligheten är 1,09. Toppen däremot upphör att existera när antalet termer är oändligt, värdet 1,09 uppnås inte vid någon tidpunkt.

Jag tror du har fel. Om det är som du säger skulle inte Gibbs fenomen excistera öht.

Och det skulle i så fall inte ligga något nedsättande i det. När det begav sig hade Albert Michelson tydligen råfel om fenomenet (som han observerat empiriskt och var den som väckte frågan offentligt) och han fick ju Nobelpris, trots sina matematiska brister. Fast han var ju fysiker. Poincaré var heller inte riktigt säker vad han skulle tro. Det var i alla fall inte snutet ur näsan att komma på hur det låg till.

/DQ-20

[IngOehman]

är den att om man gör en FFT på en teoretiskt ideal fyrkantvåg så
finner man att

det inte går.

Den ideala fyrkantsvågen är tidskontinuerlig, en FFT tar endast en tidsdiskret signal som in-argument.

För att det ska vara möjligt så måste den tidskont. signalen först samplas, och om korrekt rekonstruktion ska vara möjlig så måste signalen bandbregränsas innan den samplas.
Den filtrerade signalen kommer då inte vara en ideal fyrkantsvåg längre.

Fourier-serie kan dock tillämpas på fyrkantsvågen.

Limes* för bövelen - limes!

Det trodde jag alla fattade. Att den beskrivande serien då blir ett
oändligt antal spektralkomponenter som faller som jag beskrev.


Vh, iö

- - - - -

*Fs gående mot oändligheten.

[Sanny_X]

Det trodde jag alla fattade.

Vill du att vi ska tolka och inte bara läsa?

[IngOehman]

Det behövs inga tolkningar. Jag skrev ju idealisk fyrkantvåg, och man kan
bara göra FFT på en sådan på så vis. Låta Fs gå mot oändligheten. Räkna
får man göra oändligt länge dock, det är därför det är hypotetiskt.

Mycket bludder om Gibbs.

Om vi utgår från TEX. en fyrkantvåg som enkelt beskrivs med heavisides stegfunktion och sedan gör en Fourierutveckling (som per definition kommer att ha ett oändligt antal termer)* av densamma så inses efter en del matematikst bök att dessa funktioner kommer att avvika en smula - detta är Gibbs fenomen. Fyrkantvågen är som bekant en kontinuerlig funktion, men dess derivata är INTE det, varför problemen uppstår.



* varför detta bludder om antal termer saknar relevans.

Nja, har man oändligt antal termer så får man faktiskt exakt en fyrkantvåg. Alltså i den meningen att funktionen exakt stämmer överens i varje punkt med fyrkantvågen. Funktionen växlar mellan exakt +1 och -1 och precis i språnget har den värdet 0.

Men på vägen dit så finns Gibbs med hela tiden. På vägen ser man aldrig att ringningen minskar i amplitud, tvärtom konvergerar största toppens amplitud mot ungefär 1,09.

Så frågan är om ringningen verkligen finns om man har oändligt många termer. Ska man lita på gränsvärdet, alltså att toppens amplitud är ~1,09 eller ska man lita på att varje funktionsvärde man får fram stämmer exakt med fyrkantvågens?

Lite lurigt är det allt.

Du har fel. Morello har rätt.

Det du skriver i första stycket är till och med väldigt fel.


Vh, iö

[IngOehman]

Mycket bludder om Gibbs.

Om vi utgår från TEX. en fyrkantvåg som enkelt beskrivs med heavisides stegfunktion och sedan gör en Fourierutveckling (som per definition kommer att ha ett oändligt antal termer)* av densamma så inses efter en del matematikst bök att dessa funktioner kommer att avvika en smula - detta är Gibbs fenomen. Fyrkantvågen är som bekant en kontinuerlig funktion, men dess derivata är INTE det, varför problemen uppstår.



* varför detta bludder om antal termer saknar relevans.

Nja, har man oändligt antal termer så får man faktiskt exakt en fyrkantvåg. Alltså i den meningen att funktionen exakt stämmer överens i varje punkt med fyrkantvågen. Funktionen växlar mellan exakt +1 och -1 och precis i språnget har den värdet 0.

Men på vägen dit så finns Gibbs med hela tiden. På vägen ser man aldrig att ringningen minskar i amplitud, tvärtom konvergerar största toppens amplitud mot ungefär 1,09.

Så frågan är om ringningen verkligen finns om man har oändligt många termer. Ska man lita på gränsvärdet, alltså att toppens amplitud är ~1,09 eller ska man lita på att varje funktionsvärde man får fram stämmer exakt med fyrkantvågens?

Lite lurigt är det allt.

Först skriver du att man får en exakt fyrkantvåg, varpå du skriver att toppens amplitud konvergerar mot 1,09 - hur ska du ha det?

En i allra högsta grad relevant fråga.


Vh, iö

[IngOehman]

Kanske? Gör den det eller ej?

Svar nej, översvängen försvinner inte då antal temer i foruierserien är oändligt och detta är alltså Gibbs fenomen. Detta är inget Gibbs hittade på, utan något han bevisade.

Ja, däremot går felarean mot noll. Även absolutvärdet av den faktiskt.


Vh, iö

[IngOehman]

Kanske? Gör den det eller ej?

Svar nej, översvängen försvinner inte då antal temer i foruierserien är oändligt och detta är alltså Gibbs fenomen. Detta är inget Gibbs hittade på, utan något han bevisade.

Ja, eller i alla fall gjorde Bôcher det (generellt):

http://www.jstor.org/stable/1967238?seq=51

Där står det i alla fall att overshootet kvarstår ÄVEN när antalet termer är oändligt.

/DQ-20

Ja, och det är det som är Gibbs fenomen.


Vh, iö

[IngOehman]

Kanske? Gör den det eller ej?

Svar nej, översvängen försvinner inte då antal temer i foruierserien är oändligt och detta är alltså Gibbs fenomen. Detta är inget Gibbs hittade på, utan något han bevisade.

Ja, eller i alla fall gjorde Bôcher det (generellt):

http://www.jstor.org/stable/1967238?seq=51

Där står det i alla fall att overshootet kvarstår ÄVEN när antalet termer är oändligt.

/DQ-20

Ja, och det är det som är Gibbs fenomen.


Vh, iö

- - - - -

PS. En kul grej, om man tillåter sig att fiffla lite med begreppen, är att man
kan eliminera Gibbs fenomen genom att låta amplituden för övertonerna falla
med 1/(Fö/Ff) upp till överton n (vilket är 6 dB per oktav) men med mer än
6 dB per oktav från n och oppåt, när n går mot oändligheten.

Jag tror jag skrivit om detta tidigare på Faktiskt, minns inte hur många år
sedan.