Tävling - hur mycket kan man överstyra en DAC?

[IngOehman]

Well... Jo, ja, visst.


Vh, iö

[idea]

Och vad du menar med att man får någon meningsfull information (amplitud men inte fas) om frek-
vensen F = Fs/2 förstår jag inte. Det får man ju inte. Om samplen hamnar i nollgenomgången så
blir ju sampelvärdena noll. Om nollgenomgångarna inte sammanfaller med samplingsögonblicken
så får man förvisso kodad signal, men kan inte veta hur stor den är i förhållande till insignalens
verkliga amplitud.

Kort sagt - Fin < Fs/2 är ett krav.

Nja, i den här tråden är det jag som sätter villkoren.

Den handlar om hur stor en topp kan bli om man tillåter vilken digital signal som helst. En av alla tänkbara signaler är den som jag har använt. Den innehåller dock väldigt mycket av fs/2 och det är tillåtet, givet trådens fråga. Här handlar det om DA-omvandling, inte AD-omvandling.

Det du säger i det första citerade stycket är därmed off-topic, men alldeles riktigt, och det är därför man brukar säga att en signal ska vara strikt bandbegränsad (f<fs/2) när innan man samplar den, men här handlar det ju inte alls om sampling. Det handlar om rekonstruktion. Eller snarare hur illa det kan bli som värst när man DA-omvandlar.

Jag har försökt hitta en teoretisk maxgräns, men det visar sig att den inte finns. Och det som återstår är att maximal topphöjd i verkliga DA-omvandlare beror av hur rekonstruktionsfiltret har implementerats och att det inte finns någon överstyrningsmarginal som är garanterat säker. Detta talar ännu mer för att DAC-tillverkarna borde implementera överstyrningsmarginal i DACarna; de är ju de enda som vet hur mycket som behövs.

Det är möjligt att du tror att det är du som sätter villkoren men det går inte att bryta naturlagarna. Det du avhandlar är inte en digital representation av en analog signal utan något annat, okänt vad det är eftersom det inte har någon fysikalisk representation. Därmed går det inte att omvandla denna signal till den analoga domänen och påstå att toppvärdet ökat eftersom signalen inte har någon sådan representation.
Samplingsteoremet avhandlar enbart frekvensplanet det finns inget teorem som gäller på samma sätt i "nivåplanet".
Därför är ju din utredning mycket intressant om hur fullt utstyrda digitala signaler ger överslängar vid DA- omvandling som behöver hanteras av DA-omvandlaren.

[Svante]

Nja, i den här tråden är det jag som sätter villkoren.

Den handlar om hur stor en topp kan bli om man tillåter vilken digital signal som helst. En av alla tänkbara signaler är den som jag har använt. Den innehåller dock väldigt mycket av fs/2 och det är tillåtet, givet trådens fråga. Här handlar det om DA-omvandling, inte AD-omvandling.

Det du säger i det första citerade stycket är därmed off-topic, men alldeles riktigt, och det är därför man brukar säga att en signal ska vara strikt bandbegränsad (f<fs/2) när innan man samplar den, men här handlar det ju inte alls om sampling. Det handlar om rekonstruktion. Eller snarare hur illa det kan bli som värst när man DA-omvandlar.

Jag har försökt hitta en teoretisk maxgräns, men det visar sig att den inte finns. Och det som återstår är att maximal topphöjd i verkliga DA-omvandlare beror av hur rekonstruktionsfiltret har implementerats och att det inte finns någon överstyrningsmarginal som är garanterat säker. Detta talar ännu mer för att DAC-tillverkarna borde implementera överstyrningsmarginal i DACarna; de är ju de enda som vet hur mycket som behövs.

Det är möjligt att du tror att det är du som sätter villkoren men det går inte att bryta naturlagarna. Det du avhandlar är inte en digital representation av en analog signal utan något annat, okänt vad det är eftersom det inte har någon fysikalisk representation. Därmed går det inte att omvandla denna signal till den analoga domänen och påstå att toppvärdet ökat eftersom signalen inte har någon sådan representation.
Samplingsteoremet avhandlar enbart frekvensplanet det finns inget teorem som gäller på samma sätt i "nivåplanet".
Därför är ju din utredning mycket intressant om hur fullt utstyrda digitala signaler ger överslängar vid DA- omvandling som behöver hanteras av DA-omvandlaren.

Hmm, jag förstår inte riktigt. Menar du att jag bryter naturlagarna när jag försöker omvandla min maximalt elaka digitala signal till en analog signal? Vilken av dem isf?

Jag vill nog påstå att varje tänkbar digital signal har en entydigt bestämd analog representation, och om AD- och DA-omvandling görs idealt så får man tillbaka samma digitala signal om man skulle sampla den analoga signalen igen. Man måste dock göra det i exakt rätt fasläge, bla för att komponenten vid fs/2 ska bli av rätt storlek.

Nu är som sagt inte detta eller samplingsteoremet huvudnumret i tråden, utan bara hur mycket översläng det kan bli i DA-omvandlare. Idealiserade eller verkliga.

[idea]

Jo men det är ju där du tänker fel. Det gäller bara för signaler < fs/2. Du kan komma oändligt nära men bara om du samplar oändligt länge så hur du än gör så finns inte fs/2 i den digitala domänen.

[Svante]

Jo men det är ju där du tänker fel. Det gäller bara för signaler < fs/2. Du kan komma oändligt nära men bara om du samplar oändligt länge så hur du än gör så finns inte fs/2 i den digitala domänen.

Jodå. Gör en 8-punkters FFT av 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 så får du se.

...och det är ändå inte väsentligt för trådens ämne. Man behöver inte gå över i frekvensdomänen alls för att behandla trådämnet.

Frågan är helt enkelt hur stort toppvärde faltningen av en oändligt lång samplad sinc och en godtycklig digital signal kan få.

[idea]

Öhh, i diskreta fouriertransformen så ser du aldrig frekvenserna dessa får du hålla reda på själv och axeln går bara till (fs/2-df där df=1/T). Eller mer formellt speglas signalen i n*fs/2 punkterna.

[Svante]

Öhh, i diskreta fouriertransformen så ser du aldrig frekvenserna dessa får du hålla reda på själv och axeln går bara till (fs/2-df där df=1/T). Eller mer formellt speglas signalen i n*fs/2 punkterna.

Jodå, fs/2 finns visst.

Titta här (Matlab):

>> p=[ 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1]

p =

1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

>> fft(p)

ans =

0 0 0 0 8 0 0 0

8 :an representerar fs/2.

Siffrorna representerar 0*fs/8, 1*fs/8 ,2*fs/8, 3*fs/8, 4*fs/8, 5*fs/8, 6*fs/8, 7*fs/8

5*fs/8 är en spegling (komplexkonjugatet) av 3*fs/8
6*fs/8 är en spegling (komplexkonjugatet) av 2*fs/8
7*fs/8 är en spegling (komplexkonjugatet) av 1*fs/8
(...om indata är rellt)

Men 4*fs/8=fs/2 är en alldeles egen frekvens som finns. Endast realdelen av den är intressant, imaginärdelen blir noll om indata är reellt. Precis samma sak gäller för första elementet (DC), även där blir imaginärdelen noll om indata är reellt, men realdelen talar om hur mycket DC det finns i signalen.

Och man kan ju bara tänka på signalen 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1, är det inte uppenbart att den innehåller frekvensen fs/2?

[Svante]

Nu har jag testat min egen omsamplare och försökt generera en "worst case"-signal till den. Jag tar impulssvaret till den och klipper det och använder som signal (+några steg till). På så sätt summeras impulssvarets absolutbelopp, likt det jag gjorde för sincarna.

Med standardinställningen blev överslängen 2,37 ggr eller 7,4 dB. Med en lite finare inställning blev det 3,06 ggr eller 9,7 dB.

Med en inställning som ger en tonkurva som påminner om de jag sett i DACar så belv det 2,70 ggr eller 8,6 dB.

Så worst case ligger nog där någonstans i praktiken. Den största marginal jag har sett att någon tar (jag har inte kollat så noga) är 3,5 dB. Antagligen anses det vara ett icke-problem eftersom worst case knappast förekommer i praktiken.

Det vore kul om någon som är duktig på andra editorer, som Audacity eller vad de nu heter kunde ta några tokmastrade fonogram i 44100 Hz sampla upp dem till 88200 Hz. Sedan kan man göra samma sak med en version som man har sänkt 10 dB och se om de är lika sånär som på 10 dB.

[IngOehman]

Öhh, i diskreta fouriertransformen så ser du aldrig frekvenserna dessa får du hålla reda på själv och axeln går bara till (fs/2-df där df=1/T). Eller mer formellt speglas signalen i n*fs/2 punkterna.

Jodå, fs/2 finns visst.

Titta här (Matlab):

>> p=[ 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1]

p =

1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

>> fft(p)

ans =

0 0 0 0 8 0 0 0

8 :an representerar fs/2.

Siffrorna representerar 0*fs/8, 1*fs/8 ,2*fs/8, 3*fs/8, 4*fs/8, 5*fs/8, 6*fs/8, 7*fs/8

5*fs/8 är en spegling (komplexkonjugatet) av 3*fs/8
6*fs/8 är en spegling (komplexkonjugatet) av 2*fs/8
7*fs/8 är en spegling (komplexkonjugatet) av 1*fs/8
(...om indata är rellt)

Men 4*fs/8=fs/2 är en alldeles egen frekvens som finns. Endast realdelen av den är intressant, imaginärdelen blir noll om indata är reellt. Precis samma sak gäller för första elementet (DC), även där blir imaginärdelen noll om indata är reellt, men realdelen talar om hur mycket DC det finns i signalen.

Och man kan ju bara tänka på signalen 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1, är det inte uppenbart att den innehåller frekvensen fs/2?

Om du anser att den innehålls i koden under vissa omständigheter må vara hänt, men den får inte innehållas. Det är poängen. Den får inte
finnas vid samplingen, och rekonstruktionen får inte skapa den. Det kan man åstadkomma på det sätt jag beskrev tidigare - man väljer en
sinc där sincens brickwallfrekvens ligger så många Hz under Fs/2 att periodtiden för frekvensskillnaden är liten i förhållande till den tid som
använd "sinc" är representerad, tror jag att jag skrev, ungefär.


Vh, iö

[anjora]

Detta var faktiskt rätt intressant och förklarar också varför dacar i regel inte använder rena sinc filter utan begränsar dessa för att undvika klippning, även om inte ljudkortet klipper så kan förstärkaren eller högtalaren göra det..

En lösning på dessa problem(om man vill fortsätta digitalt) är naturligtvis att höja samplingfrekvensen till 96KS/s då detta möjliggör snällare filter.

[Svante]

Om du anser att den innehålls i koden under vissa omständigheter må vara hänt, men den får inte innehållas. Det är poängen. Den får inte finnas vid samplingen, och rekonstruktionen får inte skapa den. Det kan man åstadkomma på det sätt jag beskrev tidigare - man väljer en sinc där sincens brickwallfrekvens ligger så många Hz under Fs/2 att periodtiden för frekvensskillnaden är liten i förhållande till den tid som
använd "sinc" är representerad, tror jag att jag skrev, ungefär.

Får och får... Det beror väl på vem som bestämmer. Jag kan lova dig att den finns i någon grad på i stort sett varje digitalt fonogram, och ganska mycket om det är tokmastrat. Allt är ju en fråga om företeelser och dess konsekvenser.

Men igen då, sett i trådens sammanhang: OM den finns i den digitala världen och OM man använder en väldigt lång sinc i interpolationsfiltret så BLIR det en översläng.

Och OM man har en längre "periodtid" i sincen så att fs/2 försvinner så finns det en annan "worst case"-signal som provocerar fram ett likartat fenomen. Jag körde nyss några (i inlägget nyss) där periodiciteten var långsammare.

[idea]

Lite märkligt att man måste tala om för en universitetslektor att fysiken inte gäller om man går utanför definitionen av matematiken. Definitionen av fouriertransformen är att den endast är giltig vid frekvenser < fs/2. Att du får ett svar som du tolkar är giltigt där är ju en helt annan sak men tolkningen är fel.
Överslängarna vid DA-omvandlingen är ju också en konsekvens av samplingen och att man inte tänker på hur analoga signaler representeras i det digitala planet.
Begrunda följande figur av en sinussignal:


( http://bilder.idea53.se/#!album-2-1 jag ser inte bilden vid förhandsgranskning så jag provar även denna väg)

Om man samplar vid de röda tidpunkterna får man en digital representation med värden {0, 0.85, 0.85, 0, -0.85, -0.85, 0}. Om man i det digitala planet höjer nivån till +-1 maximalt så kommer den analoga representationen att bli c:a +-1.2 maximalt. Om inte DA-omvandlaren kan hantera detta blir den överstyrd. Om man kommer längre ut på flankerna vid samplingen så kommer maximala analoga nivån att stiga om man förstärker digitalt och ju närmre nollgenomgångarna desto högre nivå. Teoretisk borde det då gå att konstruera en digitalt förstärkt signal som går mot oändlig analog nivå när vi kommer oändligt nära fs/2.
Detta är ju grundläggande signalteori och det är intressant att inte fler ser hur detta påverkar kretskonstruktionen. Iofs behandlar samplingsteoremet ju bara att en godtycklig signal entydigt kan återskapas vid givna förutsättningar. Den avhandlar ju inte vad som händer om man förändrar den digitala representationen av signalen. Det får man ju klura ut själv vilket flertalet DA-omvandlartillverkare tydligen inte gjort. Fast till dess försvar så får man väl tänka på att tokmaximering inte finns nämnt i någon signalteorikurs.

Hjälpte till med bilden. /Bosse

[idea]

Slog mig att detta borde innebära att ju högre samplingsfrekvens desto högre teoretisk analog nivå går att få. Visserligen vid ohörbara frekvenser, om vi pratar över 44 kHz sampling, men en överstyrd DAC klipper ju alla frekvenser.

[Svante]

Hmm, lite konstigt inlägg tycker jag. Vad har mitt yrke med det hela att göra? Först säger du att jag inte har förstått, sedan skriver du ungefär det som jag har hävdat sedan sidan 1.

Utom det där med definitionen av Fouriertransformen. Fysik har inte med det hela att göra, detta är helt och hållet matematik/signalbehandling. Du säger axiomatiskt att Fouriertransformen inte är giltig för frekvensen fs/2. Det får du nog visa om jag ska tro på dig. Jag säger att man kan få reda på cosinuskomponenten (realdelen), men inte sinuskomponenten (imaginärdelen) vid fs/2. Har jag fel i det?

Att man sedan av bekvämlighetsskäl brukar ange f<fs/2 som villkor eftersom man oftast behöver både sin- och cosdelen är en annan sak.

När jag tänker närmare efter så är det nog snarare Fourierserier än Fouriertransformen som det är relevant att titta på här. Om jag ska beskriva en sekvens av 8 sampel med en fourierserie behöver Fourierkomponenterna ha 8 frihetsgrader. Det finns en cosinusterm vid DC, en cosinusterm vid fs/2 och tre sinus- och cosinustermer vid 1*fs/8, 2*fs/8 och 3*fs/8.

Och sekvensen 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 kan beskrivas som Fourierserie med
0*cos(0*pi/8*n)
+0*cos(1*pi/8*n)+0*sin(1*pi/8*n)
+0*cos(2*pi/8*n)+0*sin(2*pi/8*n)
+0*cos(3*pi/8*n)+0*sin(3*pi/8*n)
+1*cos(4*pi/8*n)

dvs 8 frihetsgrader. På vilket sätt är det en felaktig tolkning? Det som kommer ur en FFT är fullständigt entydigt, det är väl först när man tolkar det som att cosinuskomponenten vid fs/2 inte är giltig som det blir fel.

Resten av det du skriver tror jag att jag instämmer i och jag undrar lite varför du mer eller mindre upprepar det jag har skrivit, på ett sätt som åtminstone jag tolkar som att du försöker motsäga mig med det.

Lite märkligt att man måste tala om för en universitetslektor att fysiken inte gäller om man går utanför definitionen av matematiken. Definitionen av fouriertransformen är att den endast är giltig vid frekvenser < fs/2. Att du får ett svar som du tolkar är giltigt där är ju en helt annan sak men tolkningen är fel.
Överslängarna vid DA-omvandlingen är ju också en konsekvens av samplingen och att man inte tänker på hur analoga signaler representeras i det digitala planet.
Begrunda följande figur av en sinussignal:
<bild borttagen>

( http://bilder.idea53.se/#!album-2-1 jag ser inte bilden vid förhandsgranskning så jag provar även denna väg)

Om man samplar vid de röda tidpunkterna får man en digital representation med värden {0, 0.85, 0.85, 0, -0.85, -0.85, 0}. Om man i det digitala planet höjer nivån till +-1 maximalt så kommer den analoga representationen att bli c:a +-1.2 maximalt. Om inte DA-omvandlaren kan hantera detta blir den överstyrd. Om man kommer längre ut på flankerna vid samplingen så kommer maximala analoga nivån att stiga om man förstärker digitalt och ju närmre nollgenomgångarna desto högre nivå. Teoretisk borde det då gå att konstruera en digitalt förstärkt signal som går mot oändlig analog nivå när vi kommer oändligt nära fs/2.
Detta är ju grundläggande signalteori och det är intressant att inte fler ser hur detta påverkar kretskonstruktionen. Iofs behandlar samplingsteoremet ju bara att en godtycklig signal entydigt kan återskapas vid givna förutsättningar. Den avhandlar ju inte vad som händer om man förändrar den digitala representationen av signalen. Det får man ju klura ut själv vilket flertalet DA-omvandlartillverkare tydligen inte gjort. Fast till dess försvar så får man väl tänka på att tokmaximering inte finns nämnt i någon signalteorikurs.

Hjälpte till med bilden. /Bosse

[Svante]

Slog mig att detta borde innebära att ju högre samplingsfrekvens desto högre teoretisk analog nivå går att få. Visserligen vid ohörbara frekvenser, om vi pratar över 44 kHz sampling, men en överstyrd DAC klipper ju alla frekvenser.

Nej, det måste vara ett missförstånd. Ökar man samplingsfrekvensen skalar allt om i tidsled, men i amplitudled blir det samma.

Edit: Eller menar du att signalen skulle behålla sin frekvens?

[idea]

Hmm, lite konstigt inlägg tycker jag. Vad har mitt yrke med det hela att göra? Först säger du att jag inte har förstått, sedan skriver du ungefär det som jag har hävdat sedan sidan 1.

Utom det där med definitionen av Fouriertransformen. Fysik har inte med det hela att göra, detta är helt och hållet matematik/signalbehandling. Du säger axiomatiskt att Fouriertransformen inte är giltig för frekvensen fs/2. Det får du nog visa om jag ska tro på dig. Jag säger att man kan få reda på cosinuskomponenten (realdelen), men inte sinuskomponenten (imaginärdelen) vid fs/2. Har jag fel i det?

Att man sedan av bekvämlighetsskäl brukar ange f<fs/2 som villkor eftersom man oftast behöver både sin- och cosdelen är en annan sak.

När jag tänker närmare efter så är det nog snarare Fourierserier än Fouriertransformen som det är relevant att titta på här. Om jag ska beskriva en sekvens av 8 sampel med en fourierserie behöver Fourierkomponenterna ha 8 frihetsgrader. Det finns en cosinusterm vid DC, en cosinusterm vid fs/2 och tre sinus- och cosinustermer vid 1*fs/8, 2*fs/8 och 3*fs/8.

Och sekvensen 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 kan beskrivas som Fourierserie med
0*cos(0*pi/8*n)
+0*cos(1*pi/8*n)+0*sin(1*pi/8*n)
+0*cos(2*pi/8*n)+0*sin(2*pi/8*n)
+0*cos(3*pi/8*n)+0*sin(3*pi/8*n)
+1*cos(4*pi/8*n)

dvs 8 frihetsgrader. På vilket sätt är det en felaktig tolkning? Det som kommer ur en FFT är fullständigt entydigt, det är väl först när man tolkar det som att cosinuskomponenten vid fs/2 inte är giltig som det blir fel.

Resten av det du skriver tror jag att jag instämmer i och jag undrar lite varför du mer eller mindre upprepar det jag har skrivit, på ett sätt som åtminstone jag tolkar som att du försöker motsäga mig med det.

Ursäkta om jag var lite otydlig med vad jag var ense och oense om. Vi börjar med del två som jag är överens om och tycker är viktigt att dra fram i ljuset. Jag blev bara så exalterad när jag kom på hur jag skulle visualisera problemet att det blev lite otydligt att jag grafiskt visade samma sak som du gjort via matematik.

Vad gäller del ett så tycker jag att din profession är relevant att reflektera över eftersom jag uppfattat att du undervisar i ämnet som avhandlas, eller åtminstone i ämnen som baseras på detta (borde väl petat in någon smiley men är lite för old-fashioned för att tänka på sånt).
Om vi tittar på definitionen av Diskreta Fouriertransformen så lyder denna enligt mina gamla textböcker;

Notera att definitionen inkluderar bara upp till steg N-1 (dvs fs/2 är inte inkluderat, även om detta inte står explicit så följer det av tidigare definitioner - samplingsteoremet).
Det var visserligen närmare 40 år sedan jag läste dessa ämnen men jag har inte sett att grunddefinitionerna ändrats sedan dess. Det som förvånar mig är att de tydligen glömts bort i en tid när de ständigt tillämpas i vår vardag.

[idea]

Slog mig att detta borde innebära att ju högre samplingsfrekvens desto högre teoretisk analog nivå går att få. Visserligen vid ohörbara frekvenser, om vi pratar över 44 kHz sampling, men en överstyrd DAC klipper ju alla frekvenser.

Nej, det måste vara ett missförstånd. Ökar man samplingsfrekvensen skalar allt om i tidsled, men i amplitudled blir det samma.

Edit: Eller menar du att signalen skulle behålla sin frekvens?

Blev lite grumligt där, var en snabb tanke att om med minskad dT (ökad samplingsfrekvens) får vi ökat 1/dT och ju närmre fs/2 vi kommer desto större "tokmaximerad" sinus kan vi teoretiskt skapa. Därför borde en DA med högre samplingshastighet kunna ge högre analog utsignal baserat på detta (rent teoretiskt).
Ju högre samplingshastighet desto högre derivata kan vi återge och med den högre "översläng".

[Svante]

Om vi tittar på definitionen av Diskreta Fouriertransformen så lyder denna enligt mina gamla textböcker;

Notera att definitionen inkluderar bara upp till steg N-1 (dvs fs/2 är inte inkluderat, även om detta inte står explicit så följer det av tidigare definitioner - samplingsteoremet).
Det var visserligen närmare 40 år sedan jag läste dessa ämnen men jag har inte sett att grunddefinitionerna ändrats sedan dess. Det som förvånar mig är att de tydligen glömts bort i en tid när de ständigt tillämpas i vår vardag.

Nej, k=0..N-1 säger att fs (inte fs/2) inte är inkluderat. För en 8-punkters FFT låter man k gå från 0 till 7. För att få ut fs/2 sätter man k till 4.

Matlab, som jag använde i mitt exempel indexerar dock med början på 1, inte 0 som är brukligt. Därför blir frekvensvariablerna indexerade från 1-8 och fs/2 hamnar i den variabel som Matlab numrerar med 5.

Alltså i de 8 utvariablerna ligger

0*fs/8
1*fs/8
2*fs/8
3*fs/8
4*fs/8 <---- =fs/2
5*fs/8
6*fs/8
7*fs/8

Och innan man drar in samplingsteoremet så bör man också fundera på om det är relevant för trådfrågan. Samplingsteoremet säger att om en signal är strikt bandbegränsad så att f<fs/2 så kan man återskapa den exakt. Samplingsteoremet säger dock ingenting om vad som händer om frekvensen fs/2 finns med. Det säger inte att man inte kan återskapa signalen exakt. Det säger jag att man kan, om sinuskomponenten vid fs/2=0, alltså om man bara har en cosinuskomponent. Detta är dock ganska oanvändbart i praktiken, men handlar just om det där femte elementet ovan.

Och, här kommer det viktiga, detta femte element kan uppstå i den digitala världen, framför allt om man gör en massa otrevlig masteringsprocessning. Vilket i sin tur kan få omvandlarna att överstyra.

...och överstyra kan de göra även om man inte har fs/2 med den digitala signalen, ursprunget till den diskussionen är ju bara att validiteten i min maximalt elaka signal ifrågasattes. Det finns andra elaka signaler, som jag visade nyss.

Några citat från wickan:

Nyquist-Shannons samplingsteorem, även kallad Nyquistteoremet, Shannonteoremet eller samplingsteoremet, talar om med vilken frekvens man måste mäta en vågrörelse med hjälp av sampling för att kunna återskapa signalen. Teoremet går i grova drag ut på att man måste, för att undvika fel, sampla med en frekvens som är minst dubbla signalens bandbredd annars blir resultatet av mätningen lägre än signalens verkliga frekvens.

The theorem does not preclude the possibility of perfect reconstruction under special circumstances that do not satisfy the sample-rate criterion. (See Sampling of non-baseband signals below, and Compressed sensing.)

Den här är jag dock lite mer tveksam till, de två sista meningarna stämmer inte överens:

Sampling is the process of converting a signal (for example, a function of continuous time or space) into a numeric sequence (a function of discrete time or space). Shannon's version of the theorem states:

If a function x(t) contains no frequencies higher than B hertz, it is completely determined by giving its ordinates at a series of points spaced 1/(2B) seconds apart.

A sufficient sample-rate is therefore 2B samples/second, or anything larger. Conversely, for a given sample-rate fs, the bandlimit for perfect reconstruction is B<fs/2.

[lilltroll]

Som alternativ till serien 0->N-1 för DFT:n som visades ovan finns

[-½N, ½N-1] för jämn DFT längd
[-½(N-1), ½(N-1)] för udda DFT längd

i MATLAB kan man använda fftshift(X) resp. ifftshift(X) för att shifta till sådan form.

Har man exempelvis 8 samples i tidsdomänen fås även 8 punkter efter utförd DFT, och med fftshift(fft(x))
så motsvarar arrayens första tal frekvensen -½fs.

"fftshift is useful for visualizing the Fourier transform with the zero-frequency component in the middle of the spectrum"

Exempel:
>> fftshift(fft([1 -1 1 -1 1 -1 1 -1]))
ans =


8 0 0 0 0 0 0 0

Tolkning: Signalen har (endast) energi vid frekvensen fs/2 (== -fs/2)

EDIT:
Klistrar in ett bevis angående periodiciteten hos DFT för att styrka ovan:

[Svante]

Slog mig att detta borde innebära att ju högre samplingsfrekvens desto högre teoretisk analog nivå går att få. Visserligen vid ohörbara frekvenser, om vi pratar över 44 kHz sampling, men en överstyrd DAC klipper ju alla frekvenser.

Nej, det måste vara ett missförstånd. Ökar man samplingsfrekvensen skalar allt om i tidsled, men i amplitudled blir det samma.

Edit: Eller menar du att signalen skulle behålla sin frekvens?

Blev lite grumligt där, var en snabb tanke att om med minskad dT (ökad samplingsfrekvens) får vi ökat 1/dT och ju närmre fs/2 vi kommer desto större "tokmaximerad" sinus kan vi teoretiskt skapa. Därför borde en DA med högre samplingshastighet kunna ge högre analog utsignal baserat på detta (rent teoretiskt).
Ju högre samplingshastighet desto högre derivata kan vi återge och med den högre "översläng".

Nä, det är nog fortfarande ett tankefel där. Om både signalens frekvens och fs ökar i samma grad kommer graferna att se likadana ut, fast med ulika siffror på axlarna. Och om signalens frekvensinnehåll är detsamma och bara fs ökar kan det nog bli lite olika, men antagligen sjunker överskjutet, relativt sett. Att bara öka fs är ju som att sampla upp, och då blir den uppsamplade signalen referensen som det ska skjuta över.

[Svante]

Som alternativ till serien 0->N-1 för DFT:n som visades ovan finns

[-½N, ½N-1] för jämn DFT längd
[-½(N-1), ½(N-1)] för udda DFT längd

i MATLAB kan man använda fftshift(X) resp. ifftshift(X) för att shifta till sådan form.

Har man exempelvis 8 samples i tidsdomänen fås även 8 punkter efter utförd DFT, och med fftshift(fft(x))
så motsvarar arrayens första tal frekvensen -½fs.

"fftshift is useful for visualizing the Fourier transform with the zero-frequency component in the middle of the spectrum"

Exempel:
>> fftshift(fft([1 -1 1 -1 1 -1 1 -1]))
ans =


8 0 0 0 0 0 0 0

Tolkning: Signalen har (endast) energi vid frekvensen fs/2 (== -fs/2)

EDIT:
Klistrar in ett bevis angående periodiciteten hos DFT för att styrka ovan:

Ahaja, förstås kan man se frekvensen 6fs/8 som -2fs/8 pga spektrums periodicitet. Det är kanske mer pedagogiskt.

Det gör att man kan se min lista som

-4*fs/8 <---- =fs/2
-3*fs/8
-2*fs/8
-1*fs/8
0*fs/8
1*fs/8
2*fs/8
3*fs/8

I stället för

0*fs/8
1*fs/8
2*fs/8
3*fs/8
4*fs/8 <---- =fs/2
5*fs/8
6*fs/8
7*fs/8

Intressant också med DFT med udda antal sampel, då kan ju faktiskt inte fs/2 representeras.

[IngOehman]

Slog mig att detta borde innebära att ju högre samplingsfrekvens desto högre teoretisk analog nivå går att få. Visserligen vid ohörbara frekvenser, om vi pratar över 44 kHz sampling, men en överstyrd DAC klipper ju alla frekvenser.

Nej, det måste vara ett missförstånd. Ökar man samplingsfrekvensen skalar allt om i tidsled, men i amplitudled blir det samma.

Edit: Eller menar du att signalen skulle behålla sin frekvens?

Blev lite grumligt där, var en snabb tanke att om med minskad dT (ökad samplingsfrekvens) får vi ökat 1/dT och ju närmre fs/2 vi kommer desto större "tokmaximerad" sinus kan vi teoretiskt skapa. Därför borde en DA med högre samplingshastighet kunna ge högre analog utsignal baserat på detta (rent teoretiskt).
Ju högre samplingshastighet desto högre derivata kan vi återge och med den högre "översläng".

Fast oavsett vilket så är ju Fs oändligt mycket mer än DC, och byte av samplingsfrekvens är jämförbart med att
zooma in horisontellt, och hur man zoomar hit eller dit påverkar inte toppamplituden.

Samma villkor vad avser toppamplitud gäller helt enkelt, oavsett om vi samplar med 44100 smp/us, 44100smp/s
eller med 44100 smp/h - eller 44100 smp/m! Per vad spelar ingen roll helt enkelt så länge det representerar det
vi har på X-axeln när vi betraktar resultatet.


Vh, iö

[lilltroll]

Intressant också med DFT med udda antal sampel, då kan ju faktiskt inte fs/2 representeras.

--- för man behöver ett jämnt antal samples i tids-domänen för att beskriva N perioder av ½fs.
Eller - periodiciteten gäller även i tids-domänen - vilket någon som hette Svante lärde mig en gång i tiden med RTsect.

Talsekvensen ... 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ...

Kan beskrivas som en serien [1 0] med oändlig periodicitet
och dess

DFT = [1 1]

dvs den har en DC komponent och en AC komponent vid ½fs och båda har amplituden 1/(N) = ½

Gör vi istället en samma sak på serien [1 0 1] (som har udda längd)
så motsvara det den oändliga serien ..... 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 ... vilket är en helt annan talföljd än den första
och den har ingen fs/2 komponent, men väl en DC

DFT = 0.5 - 0.866i , 2.0 , 0.5 + 0.866i

DC medelvärdet är 2/N = 2/3 = 0.667

En talsekvens av udda längd kan helt enkelt inte ha någon ½fs komponent om den är periodisk.

[Svante]

Talsekvensen ... 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ...

Kan beskrivas som en serien [1 0] med oändlig periodicitet
och dess

DFT = [1 1]

dvs den har en DC komponent och en AC komponent vid ½fs och båda har amplituden 1/(N) = ½

Haha, ja det där måste ju vara den minsta möjliga meningsfulla Fouriertransformen... Fourierserien blir x(n)=1*cos(0*pi*n)+1*cos(1*pi*n)

[Svante]

Haha, ja det där måste ju vara den minsta möjliga meningsfulla Fouriertransformen... Fourierserien blir x(n)=1*cos(0*pi*n)+1*cos(1*pi*n)

... delat med två...

[IngOehman]

Det framgår inte vad som är Lilltrolls insats i ditt förra citat, eller varför han är med trots att det
inget finns något han skrivit med i det, eller gör det det?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Vill nog envisas med att fortfarande hävda att det är fel att påstå att F = Fs/2 kan representeras.

Den kan VARKEN representeras entydigt med avseende på fas eller amplitud. Tycks det inte finnas
signal så kan det bero på att samplena hamnat i nollgenomgången, men eftersom man inte kan ut-
gå ifrån att det finns signal så vet man inte att man träffat nollgenomgångar. Och om det tycks
finnas signal (samplen är omväxlande positiva och negativa) så vet vi bara hur stor signalen MINST
är. Inte hur stor dem maximalt är. Och för varje förmodad signalstorlek finns dessutom två tänk-
bara faslägen som kan ge samma samples

Så igen; F = Fs/2 är en otillåten signal.

Bara för att vara tydlig så säger jag inte att Svante inte får leka med tanken att det finns en sådan
signal kodad där likt förbaskat, på grund av vad det än är, t ex signalmisshandel i digitala domänen,
men det är alltså inte en entydig kodning - inte en som tillgodoser samplingsteoremet.

Jag vill även än en gång påstå att man INTE kan veta VARKEN amplitud eller fas på en sådan signal.
Bara en min-amplitud.


Vh, iö

[Svante]

Det framgår inte vad som är Lilltrolls insats i ditt förra citat, eller varför han är med trots att det
inget finns något han skrivit med i det, eller gör det det?

Aha, nej det blev fel. Det som ser ut att vara citat av mig är citat av lilltroll.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Vill nog envisas med att fortfarande hävda att det är fel att påstå att F = Fs/2 kan representeras.

Den kan VARKEN representeras entydigt med avseende på fas eller amplitud. Tycks det inte finnas
signal så kan det bero på att samplena hamnat i nollgenomgången, men eftersom man inte kan ut-
gå ifrån att det finns signal så vet man inte att man träffat nollgenomgångar. Och om det tycks
finnas signal (samplen är omväxlande positiva och negativa) så vet vi bara hur stor signalen MINST
är. Inte hur stor dem maximalt är. Och för varje förmodad signalstorlek finns dessutom två tänk-
bara faslägen som kan ge samma samples

Så igen; F = Fs/2 är en otillåten signal.

Bara för att vara tydlig så säger jag inte att Svante inte får leka med tanken att det finns en sådan
signal kodad där likt förbaskat, på grund av vad det än är, t ex signalmisshandel i digitala domänen,
men det är alltså inte en entydig kodning - inte en som tillgodoser samplingsteoremet.

Jag vill även än en gång påstå att man INTE kan veta VARKEN amplitud eller fas på en sådan signal.
Bara en min-amplitud.


Vh, iö

Alltså, jag skriver det här trots att jag tror att du vet det, men för att det verkar av det du skriver som att du inte vet det.

En sinusformad signal vid en viss frekvens kan beskrivas med en amplitud och ett fasläge, men den kan också beskrivas som summan av en sinus och en cosinus. När man pratar om Fourierserier brukar man använda sin/cos-representationen eftersom det är den som kommer ur en Fouriertransform i form av imaginär- och realdelar. Fouriertransformen klarar att detektera cosinusdelen, men inte sinusdelen vid fs/2, vilket förstås innebär precis det du säger att om fasläget är sådant att man samplar i nollgenomgångarna (=det är en sinus) så missar man fs/2. Om man däremot samplar i topparna (=det är en cosinus) så ser man signalen med full styrka.

Uttryckt matematiskt: a*cos(wt) + b*sin(wt) = sqrt(a²+b²) * sin(wt±fi) där fi ger av tan(fi)=a/b (± måste väljas beroende på tecknen på b&a)

Jag är lite förvånad över att du pratar om "otillåtna" signaler, det låter som att du tumregelmässigt exkluderar cosinusdelen av fs/2 ur fouriertransformen bara för att du förutsätter att det är normal sampling det handlar om. Alltså sådan där fasläget på fs/2 kan vara vad som helst.

Jag påstår att alla frekvenser <fs/2 kan återskapas med amplitud på både sinus- och cosinusdelen och att amplituden av cosinusdelen av fs/2 kan återskapas med rätt amplitud. Här utesluter jag inte cosinusdelen tumregelmässigt; man KAN ju faktiskt återskapa den.

Och i beskrivningen av tidsdiskreta signaler med Fourierserier är cosinusdelen av fs/2 nödvändig för att alla sekvenser (med jämn längd) ska kunna beskrivas med en Fourierserie.

Jag kan tex generera sekvensen [1 -1 1 -1 1 -1 1 -1], Fourier säger att den och alla andra sekvenser kan beskrivas som en summa av sinusar, men för att kunna göra det behövs fs/2. Att kalla den otillåten felaktigt, den ingår ju i beskrivningen av den digitala signalen. Det kan vara en praktisk begränsning i ett verkligt samplat system, men den är inte nödvändig, det beror på syfte.

Jag tror att vi är överens om att frekvensen fs/2 bör filtreras bort i en verklig AD-omvandlare. Detta dels för att man inte kan göra oändligt branta filter, men också för att man typiskt inte vet fasläget på den analoga signalen man ska sampla.

Och, och det tror jag också att vi är överens om, frekvensen fs/2 (cosinusdelen) kan uppstå i den digitala världen, tex vid syntes eller tokmastering. Och detta kan en DA-omvandlare behöva hantera. Liksom andra signaler som kan ge sampelvärden större än full utstyrning vid översampling.

[IngOehman]

Okej... Ny infallsvinkel, som jag hoppas jag skall nå fram med: Det är till ingen eller väldigt
måttlig nytta, att veta cosinusdelens amplitud allena.

Den kan vara noll trots att man har massor av signal, och även om man har en cosinusdel så
säger den inte något annat om signalen än att den är MINST så stor.

Därför är cosinusdelen av intet värde. Det är otillräcklig information om signalen för att sig-
nalen skall kunna beskrivas.

- - -

Så igen - BÅDE amplitud och fas för frekvensen Fh/2 är ovetbar. Och därför så får den inte
finnas med, alls. Detta alltså trots att man från sampeldata (ja, cosdelen) kan se hur stor in-
signalen var "minst".

- - -

Men det är inte möjligt att veta precis hur insignalen såg ut, och därför är det ju heller inte
möjligt att rekonstruera den från sampledata.

Gick det fram nu då?


Vh, iö

[IngOehman]

PS. Det finns kul saker man kan göra dock, om man får spåna lite. En kul sak man kan göra, som
i hög grad förbättrar möjligheten att koda höga frekvenser som är statiska, är att addera ett tids-
brus på samplingsfrekvensen. Ett känt brus, t ex ett i förväg bestämt brusmönster. Egentligen är
det inte optimalt att kalla det ett brus kanske dock. Det kan ju vara något så enkelt som en fas-
togglande frekvens, men möjligheterna är legio.

Det är lite småspännade att räkna lite på vad som händer om man gör så, och sedan extraherar
så mycket info som finns ur det som man samplat sålunda...

[Svante]

Okej... Ny infallsvinkel, som jag hoppas jag skall nå fram med: Det är till ingen eller väldigt
måttlig nytta, att veta cosinusdelens amplitud allena.

Den kan vara noll trots att man har massor av signal, och även om man har en cosinusdel så
säger den inte något annat om signalen än att den är MINST så stor.

Därför är cosinusdelen av intet värde. Det är otillräcklig information om signalen för att sig-
nalen skall kunna beskrivas.

- - -

Så igen - BÅDE amplitud och fas för frekvensen Fh/2 är ovetbar. Och därför så får den inte
finnas med, alls. Detta alltså trots att man från sampeldata (ja, cosdelen) kan se hur stor in-
signalen var "minst".

- - -

Men det är inte möjligt att veta precis hur insignalen såg ut, och därför är det ju heller inte
möjligt att rekonstruera den från sampledata.

Gick det fram nu då?


Vh, iö

Ja, det gick fram den här gången och den förra. Jag förstår precis det du säger.

Och med all önskvärd tydlighet framgår det att du ENBART ser Fourierserierna som ett sätt att beskriva en samplad signal som har varit analog.

Det gör inte jag.

Kan du tänka dig att man vill beskriva en godtycklig sampelsekvens med N sampel med N Fourierkoefficienter? Utan cosinuskomponenten vid fs/2 GÅR inte det i det allmänna fallet. Du kan förstås bestäma att vissa sekvenser inte är tillåtna, men det finns ingen naturlag som säger att jag inte får göra sekvensen [1 -1 1 -1 1 -1 1 -1] och vill veta dess Fourierserie.

Jag tycker det är intressant, och många som lär sig detaljerna med den diskreta Fouriertransformen har nytta av det. Tex programmerare.

Det är framför allt ordet "otillåtet" som jag har problem med, det exkluderar en massa synsätt som är användbara.

Jag vet inte hur mycket du har läst i tråden, men jag har känslan att du har läst rätt ordentligt, och kanske kan du förstå att jag i undersökandet av hur stor översläng det kan bli i en DAC utgår från en sinc som interpolatör och försöker hitta den digitala sekvens som ger störst utsignal. Tycker du inte att det är en rimlig utgångspunkt? Det visade sig att toppamplituden kan bli hur stor som helst i detta teoretiska fall. Shit happens. Dessbättre är det inte så med verkliga implementationer, men det blir olika med olika implementationer, så man kan inte säga hur mycket marginal som behövs. Det är väl också ett intressant resultat, kan jag tycka.

Hur skulle du undersöka vilken marginal som behövs i en översamplande DAC?