Tävling - hur mycket kan man överstyra en DAC?

[Svante]

Ja, det går ju att överstyra en översamplande DAC. Alltså, en översamplande DAC måste ju interpolera mellan samplen och de mellansamplen kan blir större än full utstyrning. Hur stor överslängen blir begriper jag dock inte ännu, och jag har provat med olika fullt utstyrda fyrkantsvågsliknande signaler och samplat upp dem för att se hur stor överslängen är.

För att testa genererar jag signaler i mitt program Sopran i 44100 Hz som jag samplar upp till 441000 Hz.

Jag har inte på något sätt täckt in alla tänkbara signaler, men värst hittills är en 10 kHz sinus med stor amplitud (10000000) som jag klipper till amplituden 1. Efter uppsampling har jag toppamplituden 1,55 eller +3,8 dB.

Jag har också provat några olika kommersiella inspelningar och samplat upp dem, men det brukar inte bli mer än någon dB översläng på de värsta exemplen.

Hur mycket översläng GÅR det att göra egentligen? Är det någon som orkar tävla med mig, eller kanske teoretiskt förutspå hur stort det kan bli?

[Svante]

Haha, det blev visst ännu mer när jag sänkte frekvensen till precis över fs/6 (7400 Hz). Nu är största toppen 1,618 eller +4,2 dB.

Edit: ojeflar, ett svep från 5000 till 15000 gav en topp på 1,837 eller +5,28 dB...

[Svante]

Haha, hattrick i min egen tråd, monolog tror jag det blev. Utgår jag från vitt brus som jag klipper blir toppamplituden 2,47 på 10 s brus. Det är +7,8 dB.

Finns det någon övre gräns tro?

[petersteindl]

Jag har inget att tillföra i ämnet, men det är kul att läsa.

[paa]

Haha, hattrick i min egen tråd, monolog tror jag det blev. Utgår jag från vitt brus som jag klipper blir toppamplituden 2,47 på 10 s brus. Det är +7,8 dB.

Finns det någon övre gräns tro?

Det är väl klart at det gör.

[Svante]

Haha, hattrick i min egen tråd, monolog tror jag det blev. Utgår jag från vitt brus som jag klipper blir toppamplituden 2,47 på 10 s brus. Det är +7,8 dB.

Finns det någon övre gräns tro?

Det är väl klart at det gör.

Men tänk om det inte gör det... När jag drog till med bruset funderade jag på om filtreringen gör om bruset till normalfördelat vitt brus (fast det ser inte riktigt ut så) och isf så är ju svansarna på fördelningen oändligt långa. Om det är så kan amplituden bli oändligt stor, men det händer å andra sidan oändligt sällan.

[RogerJoensson]

Kör en timme och se vartåt det peakar.

[Svante]

Nytt rekord: 4,1 ggr eller 12,2 dB. Det verkar bero en hel del på vad man har för impulssvar för filtret i omsamplingsalgoritmen. Den ideala sincen verkar rätt dålig. Just i det här avseendet, alltså. För den oändligt långa sincen tror jag att överstyrningen kan bli oändligt stor. Den goda nyheten är nog, tror jag, att det för varje filterimplementation går att räkna ut en maximal ändlig överstyrning.

Just nu tror jag det i alla fall.

[Svante]

Kör en timme och se vartåt det peakar.

Om det peakar uppåt eller nedåt spelar väl inte så stor roll ?

[Svante]

Jaha, jag tror nog att jag får betrakta försöket som avslutat med nya rekordet 7,01 ggr eller 16,9 dB. För att få till det tar jag samplingsfrekvensen 44100 Hz och en 22049 Hz sinus med amplituden 1000000000000 som jag klipper så att jag får en fyrkantvåg. Denna kommer att få vartannat sampel 1 och -1, utom 2 ggr per sekund när 1:an eller -1:an upprepar sig. Denna signal samplar jag sedan upp till 441000 Hz med ett interpolationsfilter med en sinc som är 20000 perioder lång.



Det som sker i detta "worst case" är att signalen är vald sådan att varje sampel i impulssvaret för rekonstruktionsfiltret multipliceras med antingen 1 eller -1, så att amplituden blir summan av absolutbeloppet för alla tapparna i filtret. Om man räknar mitt emellan samplen*, där sinusens amplitud i sinx/x är +1 eller -1 får man en summa som blir 4/pi*(1+1/3+1/5+1/7...) och den summan är oändlig om sincen är oändligt lång.

För praktiska implementationer med FIR-filter är dock impulssvaret ändligt och dessutom minskar amplituden "mot svansarna" typiskt fortare** vilket gör att summan blir ändlig. För varje implementation kan man alltså räkna ut ett "worst case" och det borde tillverkarna göra. Jag vet dock att de inte alltid gör det. Det brukar räcka med en fullt utstyrd fyrkantvåg för att de ska klippa, och det finns alltså ännu värre signaler.

Ja, så kan det gå när man håller monolog. Jag har funderat en hel del på detta, men det hjälpte att tänka högt i stället. Det känns lite som "case closed".

*Det är inte säkert att just detta läge ger maximal amplitud, men eftersom den ändå blir oändlig spelar det ingen roll för resonemanget.
**Detta är bra även på andra sätt, filterkaraktäristiken blir brantare så.

[PerStromgren]

Jag tror att jag fattar vad du gjort, men kan du vara busig och berätta om det finns någon användning för det du kommit fram till i vår praktiska vardag?

PS. Jag kräver dock inget sån't, nyfikenhet räcker jättebra!

[Nattlorden]

Jättebra Svante. Kan man tänka sig att detta tas med som testfall för LTS framtida dac:tester, och gärna då retrospektivt på de tidigare testade dac:ar/spelare också? Och att resultaten delges resp tillverkare?

[IngOehman]

Jag kanske har missförstått något, men det verkar som om det är en väsentlig faktor i dina experi-
ment att signalen är svag. Det kan indikera att det du räknar ut inte har så värst mycket med över-
samplingen som sådan att göra, men mera med avrundningsegenskaper.

Eller har jag missförstått det du skrivit?

Om det är så, så känns det inte som om detta har någon direkt koppling till att överstyra DACar att
göra då det ju sker med starka signalen och inte svaga.

Kan även nämna att det oavsett resultat är omöjligt att dra några generella slutsatser om problemet
då många översamplingsfilter ju tar höjd för fenomenet (talar då inte om lågnivåproblem) och ser till
så det finns amplitudmarginal.


Edit: När jag läser flera gånger så lutar jag åt att du med amplituden 10 000 000 som klipps till ampli-
tuden 1 menar att den senare är fullt utstyrd, inte 1/65tusendel av fullt utstyrd. Så att du istället för
att hänvisa till en fyrkantvåg på 10 kHz med flankdarr redovisar hur det gick till att få den signalen,
är bara för att det är mera entydigt att redovisa processen än att beskriva signalen (koden) tekniskt.

Frågan jag ställer mig är då - den där processen där signalen klipptes - var hände den? Det känns som
om processen som sådan lätt kan råka bli otillåten (nyquist-fientlig), eller?


Vh, iö

[Svante]

Jag tror att jag fattar vad du gjort, men kan du vara busig och berätta om det finns någon användning för det du kommit fram till i vår praktiska vardag?

PS. Jag kräver dock inget sån't, nyfikenhet räcker jättebra!

Nja, det är väl främst tillverkarna som borde lyssna. Det är gott om fonogram som är tokmaximerade idag, och om man helt ignorerar problemet så kommer de att låta ännu värre eftersom de klipps en gång till. Det kan alltså vara ytterligare en förklaring till varför det går att höra skillnad på DACar.

Man är så himla duktig idag på att få ner disten (vid sinus eller vid några dB under full utstyrning) till -120 dB att det är åtminstone tekniskt störande att de beter sig illa när man styr ut med full signalstyrka.

Och teknikdjävulen i mig kan inte låta bli att fundera hur man skulle göra om man skulle göra rätt.

Rent praktiskt kan man som konsument kanske lyssna på rekommendationen som vi hade i MoLt nyligen att man ska dra ner den digitala volymkontrollen till under 100 % om spelaren har en sådan. Den här tråden kanske ger incitament att sänka nivån lite ytterligare.

...men å andra sidan så blir det nästan bara problem med fonogram som ändå inte lämpar sig för finlyssning.

Vi kanska ska göra en inventering. Man tager några fonogram man har och samplar upp dem till 441000 Hz och tittar hur starkt det stakaste samplet blir. Eller kanske mjukvaran klipper?

[Svante]

Frågan jag ställer mig är då - den där processen där signalen klipptes - var hände den? Det känns som
om processen som sådan lätt kan råka bli otillåten (nyquist-fientlig), eller?

Mnja, det låter* ju inte som någon vacker fyrkantvåg på 22049 Hz, så på så sätt är den nyqvist-fientlig. Klippning i digitala domänen blir ju lätt det. Men i den friaste av världar är jag förstås som kompositör tillåten att komponera just ett sådant stycke. Ingen kommer att köpa skivan, kan jag tro, men signalen kan iaf finnas. Och det här handlar ju om att hitta en "worst case"-signal, som provocerar fram felet/överstyrningen maximalt.

*Faktum är att den inte låter alls, för mitt ljudkort kan inte spela den. Men jag tror att jag skulle höra en knäpp två gånger per sekund. Hunden kanske skulle höra en ton vid 22050 Hz.

[Svante]

Kan även nämna att det oavsett resultat är omöjligt att dra några generella slutsatser om problemet
då många översamplingsfilter ju tar höjd för fenomenet (talar då inte om lågnivåproblem) och ser till
så det finns amplitudmarginal.

Ja, den också då ja. Ja det är precis amplitudmarginal jag efterlyser. Eller utreder - alltså hur stor den höjden behöver vara. Vi såg när vi testade Oppon sist att en fullt utstyrd fyrkantvåg styrde över omvandlarna, så där har de inte tagit tillräcklig höjd. Samma sak gäller 668:an.

[Svante]

... 1 menar att den senare är fullt utstyrd, inte 1/65tusendel av fullt utstyrd.

Värst vad många gånger jag citerade nu då, men ja precis så är det. Inte en trettitvåtusendel heller .

[Svante]

Jättebra Svante. Kan man tänka sig att detta tas med som testfall för LTS framtida dac:tester, och gärna då retrospektivt på de tidigare testade dac:ar/spelare också? Och att resultaten delges resp tillverkare?

Det finns redan där i en enkel form, nämligen med en fullt utstyrd fyrkantvåg. Det blir dock knepigare att konstruera en rättvisande "worst case"-signal eftersom den är olika för varje rekonstruktionsfilter. Just nu lutar jag åt att fyrkantvågen ändå är rätt bra eftersom den ändå kan tänkas finnas på ett tokmaximerat fonogram, och eftersom den inte siktar på en speciell implementation (annat än just översamplande omvandlare).

[AndreasArvidsson]

Värst vad många gånger jag citerade nu då,

Du kan ju alltid lägga flera citat i samma inlägg om du så vill. Blir ju inte mindre antal citat, men mindre antal inlägg iaf.

Värst vad många gånger jag citerade nu då,

Typ

Värst vad många gånger jag citerade nu då,

Så

Värst vad många gånger jag citerade nu då,

Här



För övrigt en intressant tråd. Jobba på Svante

[RogerJoensson]

Vi såg när vi testade Oppon sist att en fullt utstyrd fyrkantvåg styrde över omvandlarna, så där har de inte tagit tillräcklig höjd. Samma sak gäller 668:an.

Det beteendet har jag svårt att förstå att man släpper igenom. Jag blir lite tveksamt inställd varje gång jag hör om sådant, hur vanligt det än är. Med dagens tysta omvandlare är det ju bara att skifta ner signalen ett steg (-6dB) så är ju problemet ur världen. Utom ev. för något extremt material då, som nog ingen vill lyssna på ändå.
Man behöver ju inte ens räkna om signalen när man skiftar.
Det går ju lätt att göra i den digitala domänen utan praktiska förluster om överföringen till D/A arbetar med hög upplösning.

När jag lyssnar med datorns inbyggda D/A så har jag i princip aldrig volymen på max, eftersom en lägre nivå ökar distmarginalerna för filtret och de enkla analogdelarna. Brusgolvet kan jag inte höra ändå.

En liten SPDIF-SPDIF burk med -6dB-funktion kanske skulle ha en marknad (att kopplas in mellan spelare och förstärkare). En sådan skulle inte kosta mycket att tillverka.

[Svante]

Typ

Jodå jag vet. Jag bara läste Ingvars inlägg lite fort och hittade mer och mer i det när jag läste om det.

[Svante]

Vi såg när vi testade Oppon sist att en fullt utstyrd fyrkantvåg styrde över omvandlarna, så där har de inte tagit tillräcklig höjd. Samma sak gäller 668:an.

Det beteendet har jag svårt att förstå att man släpper igenom. Jag blir lite tveksamt inställd varje gång jag hör om sådant, hur vanligt det än är. Med dagens tysta omvandlare är det ju bara att skifta ner signalen ett steg (-6dB) så är ju problemet ur världen. Utom ev. för något extremt material då, som nog ingen vill lyssna på ändå.
Man behöver ju inte ens räkna om signalen när man skiftar.
Det går ju lätt att göra i den digitala domänen utan praktiska förluster om överföringen till D/A arbetar med hög upplösning.

När jag lyssnar med datorns inbyggda D/A så har jag i princip aldrig volymen på max, eftersom en lägre nivå ökar distmarginalerna för filtret och de enkla analogdelarna. Brusgolvet kan jag inte höra ändå.

En liten SPDIF-SPDIF burk med -6dB-funktion kanske skulle ha en marknad (att kopplas in mellan spelare och förstärkare). En sådan skulle inte kosta mycket att tillverka.

Jag tror att det beror på att SNR testas och folk jämför. Överstyrning testas däremot inte och därför kan inte folk jämföra. "Rätt" beslut för tillverkaren är därför att prioritera SNR.

Bara skifta signalenbör man i princip inte göra, det måste läggas till dither. Nu behövs inte det om man spelar en 16-bitssignal på 24-bitsdac, och en 24-bitssignal är nog automatiskt redan för starkt dithrad, i varje fall om signalen har varit analog. Så det går nog bra att skifta ändå.

[RogerJoensson]

Jag pratade naturligtvis om en 24bitars DAC. Alla använder väl sådana i dag.

Överstyrning testas däremot inte och därför kan inte folk jämföra. "Rätt" beslut för tillverkaren är därför att prioritera SNR.

Sjukt. Man bryr sig mindre om hur det låter m a o.
Märkligt att ingen har en sådan funktion. Det borde ju inte vara något annat än en fördel att använda i sin marknadsföring. Typ, en valbar funktion som andra saknar och som faktiskt kan göra skillnad och undanröja en degradering av signalen.

[Svante]

Jag pratade naturligtvis om en 24bitars DAC. Alla använder väl sådana i dag.

Överstyrning testas däremot inte och därför kan inte folk jämföra. "Rätt" beslut för tillverkaren är därför att prioritera SNR.

Sjukt. Man bryr sig mindre om hur det låter m a o.
Märkligt att ingen har en sådan funktion. Det borde ju inte vara något annat än en fördel att använda i sin marknadsföring. Typ, en valbar funktion som andra saknar och som faktiskt kan göra skillnad och undanröja en degradering av signalen.

Oppon har ju en digital volymkontroll, som jag kan tycka att man ska dra ner en gnutta. Då försvinner fyrkantsvågsöverstyrningen.

Det är väl bara det att "ingen" känner till det.

[RogerJoensson]

Precis. Bara att hoppas att volymkontrollen inte gör något skumt, men det ska väl mycket till för att misslyckas med detta.

Hur är det med förstärkare? Låter dom vanligen de inbyggda D/A gå på fullt, med volymen i analogdelen eller har man tänkt till där? Det billigaste idag borde i och för sig vara att reglera volymen digitalt före D/A, men då riskerar ju brusgolvet bli hörbart så jag gissar att man inte gör enbart så.

[Svante]

Ytterligare ett skäl till att probelmet inte märks är att när man finlyssnar så plockar man inte fram det tokmaximenrade materialet. Här är ett exempel på en egen inspelning av tvärflöjt och gitarr som jag har samplat upp. Man ser att toppvärdet är nästan identiskt och eftersom jag har lite marginal så styr inte den uppsamplade signalen ut till över 1 (=full utstyrning). Här märks alltså inte problemet alls.

[Svante]

Precis. Bara att hoppas att volymkontrollen inte gör något skumt, men det ska väl mycket till för att misslyckas med detta.

Hur är det med förstärkare? Låter dom vanligen de inbyggda D/A gå på fullt, med volymen i analogdelen eller har man tänkt till där? Det billigaste idag borde i och för sig vara att reglera volymen digitalt före D/A, men då riskerar ju brusgolvet bli hörbart så jag gissar att man inte gör enbart så.

Så länge man har analoga ingångar så har man nog en analog volymkontroll. Ofta är den nog digitalt styrd, men ändå analog.

[petersteindl]

Jag pratade naturligtvis om en 24bitars DAC. Alla använder väl sådana i dag.

Överstyrning testas däremot inte och därför kan inte folk jämföra. "Rätt" beslut för tillverkaren är därför att prioritera SNR.

Sjukt. Man bryr sig mindre om hur det låter m a o.
Märkligt att ingen har en sådan funktion. Det borde ju inte vara något annat än en fördel att använda i sin marknadsföring. Typ, en valbar funktion som andra saknar och som faktiskt kan göra skillnad och undanröja en degradering av signalen.

Oppon har ju en digital volymkontroll, som jag kan tycka att man ska dra ner en gnutta. Då försvinner fyrkantsvågsöverstyrningen.

Det är väl bara det att "ingen" känner till det.

Var inte så säker på det Då jag har spelat med Oppon utan extern D/A så vill jag inte gå förbi den digitala volymen. Jag använder volymen. Ställs volymen in på 94-96 av 100 så har jag föredragit ljudet.

Mvh
Peter

[Svante]

Här är ett tokmaximerat exempel, Madonnas "I'm so stupid". Man kan se att toppvärdet ligger 1,36 ggr eller 2,7 dB högre än full utstyrning och DACen måste alltså ha ungefär den marginalen för att spela signalen utan klippning.



Man kan förstås argumentera för att det här låter så illa att det inte gör något om det klipper lite till alldeles i slutet av låten, eller så argumenterar man för att alla tänkbara signaler ska passera oklippta.

[Svante]

En till, 1,38 ggr eller 2,8 dB.

[petersteindl]

Det blir bara roligare Jättebra Svante!

Mvh
Peter

[IngOehman]

Typ

Jodå jag vet. Jag bara läste Ingvars inlägg lite fort och hittade mer och mer i det när jag läste om det.

Inget problem alls. Tack för svaren.

Är dock fortfarande inte på det klara riktigt med vad det är du testar.

Att det kan bli problem i den apparat som man spelar upp musiken i är ju en sak, och visst kan
tillverkarna ta till lite för dålig marginal därvidlag således att sinc-vindlingarna/vågningen som
uppstår då man översamplar kan rendera klippning. men då är ju ändå de signaler som finns på
fonogrammet icke-nyquist-fientliga. Men det kanske de som du talar om uppfyller också.

Jag är inte säker på att jag helt förstod ditt svar med avseende på just detta.

Är i själva verket inte ens säker på att jag förstår om en signal i den digitala domänen KAN vara
nyquist-fientlig. Fast jag själv resonerade om det.

Hmm... Kan ett antal samples i den lagrade koden vara "omöjlig" i betydelsen att det inte finns
någon analog insignal som kan resultera i den, utan att innehålla energi över Fs/2?

- - -

Jag tycker att jag borde veta svaret på frågan intuitivt, men det är inte så lätt efter all påskmust
som de andra druckit, så jag slapp och fick vin istället. Att fundera går bra, men att komma fram
till något är inte lika lätt.

Får en sorts dejavu (eller hur det stavas) och associerar när jag ser dina fasvingliga fyrkantvågor
till strömförbrukningen som kan uppstå dynamiskt när man har en högtalare med reaktiv impedans.

Det är även där lätt att visa att man kan få toppströmmar mycket större än Uinmax/Zmin, men det
är också svårt att beräkna den teoretiska gränsen för hur stora toppströmmar som kan uppstå med
en insignal som är helt formfri och bara begränsad med avseende på max spänning åt både plus-
och minushållet.

Har en känsla av att det finns släktskap matematiskt, även om det är olika funktioner som "kopplar
samman" orsakande och resulterande signal, nämligen sinX/X respektive högtalarens impedans.


Vh, iö

[RogerJoensson]

Precis. Bara att hoppas att volymkontrollen inte gör något skumt, men det ska väl mycket till för att misslyckas med detta.

Hur är det med förstärkare? Låter dom vanligen de inbyggda D/A gå på fullt, med volymen i analogdelen eller har man tänkt till där? Det billigaste idag borde i och för sig vara att reglera volymen digitalt före D/A, men då riskerar ju brusgolvet bli hörbart så jag gissar att man inte gör enbart så.

Så länge man har analoga ingångar så har man nog en analog volymkontroll. Ofta är den nog digitalt styrd, men ändå analog.

Jo, naturligtvis, men om man använder de digitala ingångarna... -Det var den egentliga frågan.

[Svante]

Typ

Jodå jag vet. Jag bara läste Ingvars inlägg lite fort och hittade mer och mer i det när jag läste om det.

Inget problem alls. Tack för svaren.

Är dock fortfarande inte på det klara riktigt med vad det är du testar.

Att det kan bli problem i den apparat som man spelar upp musiken i är ju en sak, och visst kan
tillverkarna ta till lite för dålig marginal därvidlag således att sinc-vindlingarna/vågningen som
uppstår då man översamplar kan rendera klippning. men då är ju ändå de signaler som finns på
fonogrammet icke-nyquist-fientliga. Men det kanske de som du talar om uppfyller också.

Jag är inte säker på att jag helt förstod ditt svar med avseende på just detta.

Är i själva verket inte ens säker på att jag förstår om en signal i den digitala domänen KAN vara
nyquist-fientlig. Fast jag själv resonerade om det.

Hmm... Kan ett antal samples i den lagrade koden vara "omöjlig" i betydelsen att det inte finns
någon analog insignal som kan resultera i den, utan att innehålla energi över Fs/2?

- - -

Jag tycker att jag borde veta svaret på frågan intuitivt, men det är inte så lätt efter all påskmust
som de andra druckit, så jag slapp och fick vin istället. Att fundera går bra, men att komma fram
till något är inte lika lätt.

Får en sorts dejavu (eller hur det stavas) och associerar när jag ser dina fasvingliga fyrkantvågor
till strömförbrukningen som kan uppstå dynamiskt när man har en högtalare med reaktiv impedans.

Det är även där lätt att visa att man kan få toppströmmar mycket större än Uinmax/Zmin, men det
är också svårt att beräkna den teoretiska gränsen för hur stora toppströmmar som kan uppstå med
en insignal som är helt formfri och bara begränsad med avseende på max spänning åt både plus-
och minushållet.

Har en känsla av att det finns släktskap matematiskt, även om det är olika funktioner som "kopplar
samman" orsakande och resulterande signal, nämligen sinX/X respektive högtalarens impedans.


Vh, iö

Hmm, nuskavise om jag kan uttrycka mig bättre.

Alltså jag försöker hitta en digital signal som är sådan att den efter uppsampling ger så högt toppvärde som möjligt. Som du säger kan inte en digital signal vara nyqvistvidrig, signalen innehåller ju per (den vanligaste) definition(en) endast frekvenser under fs/2. Jag tänkte mig närmast att om man klipper en signal i den digitala domänen så bildas det övertoner, men eftersom de inte kan ligga över fs/2 så viks de ner under fs/2.

Så signalen jag har är alltså helt syntetisk, det finns nog en analog signal som man skulle kunna sampla så att den blir som min digitala signal, men det har jag inte brytt mig om. Jag känner mig i stället väldigt artistisk och fri och skapar signalen som jag vill i den digitala domänen. I varje fall kan signalen rekonstrueras till en analog bandbegränsad signal, möjligen med reservationen att amplutuden måste vara oändlig i en punkt. Hmm...

...men den digitala signalen är alltså begränsad till +/-1 (=full utstyrning) och efter omsampling blev den mer än 10 dB starkare och jag tror mig ha visat att den kan bli hur stor som helst, givet ett idealt rekonstruktionsfilter.

Dessutom tar jag mig friheten att leka med rekonstruktionsfiltret, jag har ju skrivit uppsamplaren själv så då går ju det. Det visade sig att den vanliga inställningen, där jag inte har en riktig sinc, utan en som dämpas lite mer i svansarna, och som svänger lite långsammare än sincen ger mindre översläng än den nära ideala* långa trunkerade sincen med 20000 perioder.

*Man kan diskutera vad som är idealt här, det beror på vad man vill.

[Svante]

Precis. Bara att hoppas att volymkontrollen inte gör något skumt, men det ska väl mycket till för att misslyckas med detta.

Hur är det med förstärkare? Låter dom vanligen de inbyggda D/A gå på fullt, med volymen i analogdelen eller har man tänkt till där? Det billigaste idag borde i och för sig vara att reglera volymen digitalt före D/A, men då riskerar ju brusgolvet bli hörbart så jag gissar att man inte gör enbart så.

Så länge man har analoga ingångar så har man nog en analog volymkontroll. Ofta är den nog digitalt styrd, men ändå analog.

Jo, naturligtvis, men om man använder de digitala ingångarna... -Det var den egentliga frågan.

...så tror jag att volymkontrollen är analog om förstärkaren har analoga ingångar. Alltså jag tror inte att man har två olika volymkontroller i en förstärkare.

[Alexi]

...så tror jag att volymkontrollen är analog om förstärkaren har analoga ingångar. Alltså jag tror inte att man har två olika volymkontroller i en förstärkare.

Benchmark DAC2 har det. Den har även 3,5dB headroom för digital klippning.

"HGC" is Benchmark's unique Hybrid Gain Control system. The DAC2 HGC combines active analog gain control, passive low-impedance attenuators, a 32-bit digital gain control, and a servo-driven volume control. All inputs are controlled by the rotary volume control. This volume control moves in response to commands from the remote control. Analog inputs are never converted to digital, and digital inputs never pass through an analog potentiometer.

[Svante]

...så tror jag att volymkontrollen är analog om förstärkaren har analoga ingångar. Alltså jag tror inte att man har två olika volymkontroller i en förstärkare.

Benchmark DAC2 har det.

Ok, då har jag fel i åtminstone ett fall .

[Svante]

En till, modern, men lite varsammare mastrad produktion. Den klarar klippgränsen nätt och jämnt, och har DACen bara lite marginal så går det bra:

[Piotr]

Detta är intressant.

I studio/pro-världen finns pluggar till DAW's som varnar för "inter sample peaks" under produktion så problemet är på så vis rätt väl känt. Också känt att olika DAC'ar hanterar detta mer eller mindre snyggt. Hur bra dessa pluggar är vet jag inte. Antar att det är knepigt att ta höjd för alla tänkbara rekonstruktionsfilter.

/Peter

[Svante]

Antar att det är knepigt att ta höjd för alla tänkbara rekonstruktionsfilter.

Mja, kanske man ändå kan det eftersom det verkar som att det ideala rekonstruktionsfiltret med en väldigt lång sinc verkar ge högre toppnivå än typiska implementationer. Alla signaler är ju heller inte worst case som mina, utan en normal produktion får nog bara några dB i ökat toppvärde även om man mosar den rätt illa.

Och mosar man mycket måste man ta mer marginal. Kanske kan man låta bli att mosa bara, det verkar enklare.

...fast felet ligger ju i DACarna och det är där marginalen borde byggas in.

[Piotr]

Medhåll! Det är enkelt att lägga sig "några dB" under 0dBFS men visst borde en DAC vara konstruerad för att kunna hantera alla signaler som kan uppstå med enskilda samples på full utstyrning.


/Peter

[Svante]

Det är kanske bäst att förtydliga att musikexemplen jag har lagt upp är omsamplade med just min omsamplare och att en annan omsamplare kan ge ett annat toppvärde. Det står nog mellan raderna i tråden, men är kanske inte supertydligt.

...och det är lite det som är det knepiga. Topphöjden är beroende av rekonstruktionsfilterimplementationen.

[IngOehman]

Jodå jag vet. Jag bara läste Ingvars inlägg lite fort och hittade mer och mer i det när jag läste om det.

Inget problem alls. Tack för svaren.

Är dock fortfarande inte på det klara riktigt med vad det är du testar.

Att det kan bli problem i den apparat som man spelar upp musiken i är ju en sak, och visst kan
tillverkarna ta till lite för dålig marginal därvidlag således att sinc-vindlingarna/vågningen som
uppstår då man översamplar kan rendera klippning. men då är ju ändå de signaler som finns på
fonogrammet icke-nyquist-fientliga. Men det kanske de som du talar om uppfyller också.

Jag är inte säker på att jag helt förstod ditt svar med avseende på just detta.

Är i själva verket inte ens säker på att jag förstår om en signal i den digitala domänen KAN vara
nyquist-fientlig. Fast jag själv resonerade om det.

Hmm... Kan ett antal samples i den lagrade koden vara "omöjlig" i betydelsen att det inte finns
någon analog insignal som kan resultera i den, utan att innehålla energi över Fs/2?

- - -

Jag tycker att jag borde veta svaret på frågan intuitivt, men det är inte så lätt efter all påskmust
som de andra druckit, så jag slapp och fick vin istället. Att fundera går bra, men att komma fram
till något är inte lika lätt.

Får en sorts dejavu (eller hur det stavas) och associerar när jag ser dina fasvingliga fyrkantvågor
till strömförbrukningen som kan uppstå dynamiskt när man har en högtalare med reaktiv impedans.

Det är även där lätt att visa att man kan få toppströmmar mycket större än Uinmax/Zmin, men det
är också svårt att beräkna den teoretiska gränsen för hur stora toppströmmar som kan uppstå med
en insignal som är helt formfri och bara begränsad med avseende på max spänning åt både plus-
och minushållet.

Har en känsla av att det finns släktskap matematiskt, även om det är olika funktioner som "kopplar
samman" orsakande och resulterande signal, nämligen sinX/X respektive högtalarens impedans.


Vh, iö

Hmm, nuskavise om jag kan uttrycka mig bättre.

Alltså jag försöker hitta en digital signal som är sådan att den efter uppsampling ger så högt toppvärde som möjligt. Som du säger kan inte en digital signal vara nyqvistvidrig, signalen innehåller ju per (den vanligaste) definition(en) endast frekvenser under fs/2. Jag tänkte mig närmast att om man klipper en signal i den digitala domänen så bildas det övertoner, men eftersom de inte kan ligga över fs/2 så viks de ner under fs/2.

Så signalen jag har är alltså helt syntetisk, det finns nog en analog signal som man skulle kunna sampla så att den blir som min digitala signal, men det har jag inte brytt mig om.

Jag tror du kan stryka "nog". Svaret på frågan är ju att den finns, nämligen samma signal som den du får
ut ur din uppsamplare! (Finns det förresten något speciellt skäl till att du skriver uppsampling istället
för översampling?)

Men (och detta är ett lite viktigt men kan jag tycka) om du skulle skapa en analog signal av detta slag
och sampla den (AD-omvandla) så känns det inte troligt att de platta klippliknande vågformstaken skulle
hamna på den höga nivå som man kan få dem när man klipper digitalt.

Teoretiskt är det förstås möjligt att så skulle bli fallet om head room för ingångsförstärkaren är tillräcklig
och man har sådan osannolik "tur" att samplen hamnar på exakt rätt ställe, men om man har ett utstyr-
ningsinstrument som läser den analoga insignalens peaknivåer så skulle man ändå klara sig.

På något sätt känns det som om dina studier (som är mycket intressanta) framförallt är av betydelse för
dem som är intresserad av vilka problem som kan uppstå när några är framme och maximerar signalen i
den digitala domänen, det vill säga mastrar...

Så länge man nöjer sig med att spela in och mixa musik och kanske komprimera i den analoga domänen
föra ADC så torde problemet, eller rättare sagt risken för att problemet skall uppstå, vara minimalt.

Jag känner mig i stället väldigt artistisk och fri och skapar signalen som jag vill i den digitala domänen.

Och det gör du förstås rätt i när det är vad som kan hända när man gör så som du studerar. Och som jag
ser det så är det absolut meningsfullt att titta på sådana saker, inte bara som ren grundforskning utan
som en studie specifikt inriktad på att finna vad som kan gå snett i mastringsstudiorna, det vill säga med
fonogrammen när de modifieras i mastringsttudierna.

I varje fall kan signalen rekonstrueras till en analog bandbegränsad signal, möjligen med reservationen att amplutuden måste vara oändlig i en punkt. Hmm...

Min känsla är att amplituden inte kan bli oändlig, eftersom sincens vindlingars sammanlagda amplitudtid-
produkt inte går mot oändligheten ens om man integrerar från minus oändligheten till plus oändligheten.

Men jag är inte säker.

...men den digitala signalen är alltså begränsad till +/-1 (=full utstyrning) och efter omsampling blev den mer än 10 dB starkare och jag tror mig ha visat att den kan bli hur stor som helst, givet ett idealt rekonstruktionsfilter.

Det beviset tror jag att jag har missat. Har du lust att repetera eller förtydliga dig? Jag har ju sett att du
genom att fortsätta leta har lyckats hitta högre och högre toppar, men det säger ju inte att limes per de-
finition blir oändligheten, det kan ju lika gärna vara ett ändligt tal, eller?

Dessutom tar jag mig friheten att leka med rekonstruktionsfiltret, jag har ju skrivit uppsamplaren själv så då går ju det. Det visade sig att den vanliga inställningen, där jag inte har en riktig sinc, utan en som dämpas lite mer i svansarna, och som svänger lite långsammare än sincen ger mindre översläng än den nära ideala* långa trunkerade sincen med 20000 perioder.

En vars energi rullar av lite före 22 050 Hz alltså och inte är oändligt brant. Ja, det är ju lätt att förstå att
det blir så. Förenklar(kortar) man sincen till en rektangelstapel så blir ju överslängen noll.


Vh, iö

[Svante]

I varje fall kan signalen rekonstrueras till en analog bandbegränsad signal, möjligen med reservationen att amplutuden måste vara oändlig i en punkt. Hmm...

Min känsla är att amplituden inte kan bli oändlig, eftersom sincens vindlingars sammanlagda amplitudtid-
produkt inte går mot oändligheten ens om man integrerar från minus oändligheten till plus oändligheten.

Men jag är inte säker.

...men den digitala signalen är alltså begränsad till +/-1 (=full utstyrning) och efter omsampling blev den mer än 10 dB starkare och jag tror mig ha visat att den kan bli hur stor som helst, givet ett idealt rekonstruktionsfilter.

Det beviset tror jag att jag har missat. Har du lust att repetera eller förtydliga dig? Jag har ju sett att du
genom att fortsätta leta har lyckats hitta högre och högre toppar, men det säger ju inte att limes per de-
finition blir oändligheten, det kan ju lika gärna vara ett ändligt tal, eller?

Nej, just det mina experiment bevisar inte att det kan gå mot oändligheten, möjligen troliggör de det. Jag hade faktiskt aldrig trott att jag skulle komma över 10 dB bara för några veckor sedan.

"Beviset" har jag nog bara formulerat lite kladdigt på papper. Men så här: Jag utgår ifrån att jag har en oändligt lång digital signal med vartannat sampel 1 och -1. På mitten, vid tiden 0 byter den polaritet så att jag får två 1:or i rad.

Sedan faltar jag denna signal med en sinc. Detta kommer att göra att resultatet av faltningen blir absolutbeloppet av en sinc.

sinc=sinx/x och sincen har nollställen VID samplen eftersom sinusen=0, och mittemellan samplen är sinusen omväxlande 1 och -1. Mittemellan samplen är x=n*pi/2

Om jag summerar från 0 till oändligheten får jag halva amplituden och denna summa blir sum[ (-1)^n * sin (n*pi+pi/2) / (n*pi+pi/2) ] , n=0...inf

Hela amplituden blir då 4/pi *sum (1+1/3+1/5+1/7...) vilket går mot oändligheten.

Sincens ENERGI går inte mot oändligheten om man integrerar den, kanske inte heller integralen av sincen själv gör den (jag har inte kollat), men integralen av sincens absolutbelopp gör det. Och det min "worst case"-signal gör är att se till att faltningen blir att ta absolutbeloppet av sincens sampel mitt emellan samplen...

Men, tack och lov har inte riktiga interpolationsfilter oändligt långa impulssvar och därför blir inte "worst case" för dem oändligt utan något begränsat som man kan räkna ut för varje implementation.

Jag håller också med om troligheten att en normal "omastrad" inspelning sannolikt inte överstyr en omvandlare. Och troligen räcker det med några dBs marginal även på de allra värst mastrade inspelningarna. Men jag tycker samtidigt att DACar med något kvalitetsanspråk borde klara vilken digital signal som helst utan att bli överstyrda. Om inte annat för att man ska kunna säga att det inte är något problem. Och det finns ju SNR att ta av i de flesta moderna omvandlare.

[IngOehman]

Jag hinner inte räkna just nu, men jag tycker det ser ut som om du räknar fel. Fast jag kan ha
fel. Måste springa. Återkommer.

Men kontrollfråga: Är du med på att du, om ditt påstående är riktigt, även måste kunna rita en
analog vågform utan spektrala komponenter över halva samplingsfrekvensen, som har en oändlig
peak-amplitud, men som ändå kan samplas med ytterst små samplingsvärden...

Eller kan det vara så att problemet är att du satt luckan till noll? Alltså att du utgår ifrån att man
samplingsteoremet säger att insignalen får innehålla frekvensen Fs/2, snarare än att den inte får
göra det, alltså att hägsta frekvensen som innehålls måste vara <Fs. Att ADCns ingång måste vara
fri från frekvensen ifråga (eftersom den ger spegling till DC)?


Vh, iö

[Svante]

Jag hinner inte räkna just nu, men jag tycker det ser ut som om du räknar fel. Fast jag kan ha
fel. Måste springa. Återkommer.

Men kontrollfråga: Är du med på att du, om ditt påstående är riktigt, även måste kunna rita en
analog vågform utan spektrala komponenter över halva samplingsfrekvensen, som har en oändlig
peak-amplitud, men som ändå kan samplas med ytterst små samplingsvärden...

Ja, det är lite överraskande, men blir det ja. Tror jag.

Är du med på att sum ( 1 +1/3 + 1/5 + 1/7 ...) = inf ?

Eller kan det vara så att problemet är att du satt luckan till noll? Alltså att du utgår ifrån att man
samplingsteoremet säger att insignalen får innehålla frekvensen Fs/2, snarare än att den inte får
göra det, alltså att hägsta frekvensen som innehålls måste vara <Fs. Att ADCns ingång måste vara
fri från frekvensen ifråga (eftersom den ger spegling till DC)?
Vh, iö

Luckan?

Jag tänker gärna på sånt här i termer av DFT och går i limes.

När man gör tex en 256-punkters DFT så matar man in 256 komplexa tal och får ut 256 komplexa tal. Enklast blir det om man låter imaginärdelen i indata vara noll, då blir informationen över fs/2 speglad. 1:a och 128:e samplet i utdata motsvarar då hur mycket DC det finns och hur mycket av fs/2 det finns. De innehåller dock ingen info om fasläget på de två. Inget av dem är meningsfullt, man kan visserligen se DC som en sinus som har fastnat med frekvensen noll och fasläget 90 grader, eller något annat fasläge. Siffran som kommer ut DFTn motsvarar 90 grader (eller att det är en cosinus och 0 grader). På samma sätt motsvarar siffran i fs/2 amplituden av fs/2 med fasläge 0 (eller om det är 90 grader, jag minns inte vilket).

Så samplingsteoremet innefattar även ett frekvensinnehåll VID fs/2, men utan fasinformation.

När man har tänkt så en stund kan man gå i limes och se att samma sak gäller även då.

[lilltroll]

Tror jag kan bräcka det där lite lite till, efter att ha räknat lite komplex-analys kombinerat med vektor-analys med penna och papper.

Jag tror att om din sinc går från sample -m:m, så blir den värsta tänkbara amplituden

summan av n [-m m] av funktionen abs(1/(pi(n-0.5)))

Ett exempel:
>> n=-10000:10000;
>> sum(abs(1./(pi*(n-0.5))))
ans = 7.1135

Den där summan kan omskrivas som en konstant + summan av n [1 m] av 2/(pi*(n-0.5)), och den sista summan har en analytisk lösning vill jag minnas http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_number
Men innan vi tar den är ju frågan om mitt resultat är rätt

Någon till som vågar sig på ett analytiskt svar här?

Mitt numeriska svar ovan verkar inte helt tokigt jämfört med Svantes helt numeriska test tidigare.

[lilltroll]

Vad är första pris ???
Ett Bernoullital ??

[Svante]

Lilltroll!

Tror jag kan bräcka det där lite lite till, efter att ha räknat lite komplex-analys kombinerat med vektor-analys med penna och papper.

Jag tror att om din sinc går från sample -m:m, så blir den värsta tänkbara amplituden

summan av n [-m m] av funktionen abs(1/(pi(n-0.5)))

Ett exempel:
>> n=-10000:10000;
>> sum(abs(1./(pi*(n-0.5))))
ans = 7.1135

Den där summan kan omskrivas som en konstant + summan av n [1 m] av 2/(pi*(n-0.5)), och den sista summan har en analytisk lösning vill jag minnas http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_number
Men innan vi tar den är ju frågan om mitt resultat är rätt

Någon till som vågar sig på ett analytiskt svar här?

Mitt numeriska svar ovan verkar inte helt tokigt jämfört med Svantes helt numeriska test tidigare.

Ja så tänkte jag också, även om jag kanske uttryckte mig mer förvirrat.

Kul att wikisidan säger:

The associated harmonic series grows without limit, albeit very slowly, roughly approaching the natural logarithm function.

Jag tänkte mig summan som nästan integralen av 1/x från 1 till inf och det blir ju en logaritmfunktion.

Kul är också att det växer obegränsat, men eftersom det är en logaritmisk tillväxt så får man jobba rätt mycket för att komma upp i några nivåer. Jag fick ju ta till 20000 tappar för att nå 16 dB+.

Edit: Ja det stod ju om integralen på wikisidan också, ja.

[IngOehman]

Jag hinner inte räkna just nu, men jag tycker det ser ut som om du räknar fel. Fast jag kan ha
fel. Måste springa. Återkommer.

Men kontrollfråga: Är du med på att du, om ditt påstående är riktigt, även måste kunna rita en
analog vågform utan spektrala komponenter över halva samplingsfrekvensen, som har en oändlig
peak-amplitud, men som ändå kan samplas med ytterst små samplingsvärden...

Ja, det är lite överraskande, men blir det ja. Tror jag.

Är du med på att sum ( 1 +1/3 + 1/5 + 1/7 ...) = inf ?

Ja, självklart. Men inte säker på att jag hänger med på varför det skulle representera toppampli-
tuden i ett system där inte frekvensen Fs/2 tilllåts.

Eller kan det vara så att problemet är att du satt luckan till noll? Alltså att du utgår ifrån att man
samplingsteoremet säger att insignalen får innehålla frekvensen Fs/2, snarare än att den inte får
göra det, alltså att hägsta frekvensen som innehålls måste vara <Fs. Att ADCns ingång måste vara
fri från frekvensen ifråga (eftersom den ger spegling till DC)?
Vh, iö

Luckan?

Ja, den som i frekvensled skiljer Fmax=Fs/2 från Fmax<Fs/2.

Jag tänker gärna på sånt här i termer av DFT och går i limes.

När man gör tex en 256-punkters DFT så matar man in 256 komplexa tal och får ut 256 komplexa tal. Enklast blir det om man låter imaginärdelen i indata vara noll, då blir informationen över fs/2 speglad. 1:a och 128:e samplet i utdata motsvarar då hur mycket DC det finns och hur mycket av fs/2 det finns. De innehåller dock ingen info om fasläget på de två. Inget av dem är meningsfullt, man kan visserligen se DC som en sinus som har fastnat med frekvensen noll och fasläget 90 grader, eller något annat fasläge.

Ja, och min poäng är att denna DC-signal inte är en ursprungsignal. Det tillåts inte av samplings-
teoremet. Den ursprungliga sinustonen kan inte repreduceras ens med oändligt många termer i
rekonstruktionsfiltret. Därför är den otillåten.

Siffran som kommer ut DFTn motsvarar 90 grader (eller att det är en cosinus och 0 grader). På samma sätt motsvarar siffran i fs/2 amplituden av fs/2 med fasläge 0 (eller om det är 90 grader, jag minns inte vilket).

Så samplingsteoremet innefattar även ett frekvensinnehåll VID fs/2, men utan fasinformation.

När man har tänkt så en stund kan man gå i limes och se att samma sak gäller även då.

Jag håller inte med, eller hänger inte med, något av de tu.


Vh, iö

[Svante]

Ok, så validiteten i mitt bevis det kokar ner till om frekvensen fs/2 är tillåten. Och även om det skulle visa sig att mitt bevis inte är riktigt så kan det fortfarande vara så att amplituden går mot oändligheten, bara att jag inte har visat det.

Till att börja med är det nog i strikt mening olämpligt att dra in samplingsteoremet i detta. Det hela handlar i stället om fouriertransformen och fourierserier. Det handlar inte primärt om sampling, utan om att generera en digital vågform och se vad den blir efter att den har faltats med en sinc.

Frekvenskomponenten VID fs/2 alldeles nödvändig för att beskriva en vågform om man gör en FT av den. Det enda som är annorlunda med frekvenskomponenten fs/2 är att man inte får två egenskaper för den (amplitud och fas) utan bara en. Det beror på att man kan beskriva en upp-och-ner-hoppande växling med enbart amplitud. Man har bara en frihetsgrad i stället för de två som behövs för alla andra frekvenser och det behövs därför bara en siffra för att beskriva den frekvenskomponenten. Den är alltså på sätt och vis lik den vid DC (som fö också kan beskrivas med fouierserier).

Anledingen att inte fs/2 finns med i samplingsteoremet är nog att man just inte kan sampla en sinus vid fs/2 och återskapa den; man vet ju inte i vilket fasläge man råkade sampla den. Men det hindrar inte att frekvenskomponenten finns i en digital signal (som min) och därför måste den finnas med i "worst case"-scenariot.

Tag tex vågformen (nu pratar jag Matlab)

>> p=[1 1 1 1 -1 -1 -1 -1];

Den får spektrumet (med en 8 punkters DFT)

>> f=fft(p)

f =

Columns 1 through 4

0.0000 + 0.0000i 2.0000 - 4.8284i 0.0000 + 0.0000i 2.0000 - 0.8284i

Columns 5 through 8

0.0000 + 0.0000i 2.0000 + 0.8284i 0.0000 + 0.0000i 2.0000 + 4.8284i

Här får man frekvenskomponenter i f(2) och f(4) (och speglingar vid f(8) och f(6)), vilket motsvarar grundton och tredjeton. Dessa båda frekvenskomponenter är alldeles nödvändiga för att återskapa den ursprungliga digitala vågformen [1 1 1 1 -1 -1 -1 -1].

Väljer jag att gå över i frekvensdomänen för att beskriva min "worst case"-signal så MÅSTE jag alltså ta med fs/2. Och det har inget med samplingsteoremet att göra.

Så beviset hållet nog, tror jag.

[Svante]

Jag tänker gärna på sånt här i termer av DFT och går i limes.

När man gör tex en 256-punkters DFT så matar man in 256 komplexa tal och får ut 256 komplexa tal. Enklast blir det om man låter imaginärdelen i indata vara noll, då blir informationen över fs/2 speglad. 1:a och 128:e samplet i utdata motsvarar då hur mycket DC det finns och hur mycket av fs/2 det finns. De innehåller dock ingen info om fasläget på de två. Inget av dem är meningsfullt, man kan visserligen se DC som en sinus som har fastnat med frekvensen noll och fasläget 90 grader, eller något annat fasläge.

Ja, och min poäng är att denna DC-signal inte är en ursprungsignal. Det tillåts inte av samplings-
teoremet. Den ursprungliga sinustonen kan inte repreduceras ens med oändligt många termer i
rekonstruktionsfiltret. Därför är den otillåten.

DC-signalen är i allra högsta grad tillåten. Men den har ingenting med signalen vid fs/2 att göra, annat än att de båda beskrivs utan fasläge. Tittar man på vad som händer i fouriertransformen är DC-komponenten helt enkelt medelvärdet av alla sampel. Eller möjligen summan, beroende på vilken variant av FT man använder.

[Svante]

>> f=fft(p)

f =

Columns 1 through 4

0.0000 + 0.0000i 2.0000 - 4.8284i 0.0000 + 0.0000i 2.0000 - 0.8284i

Columns 5 through 8

0.0000 + 0.0000i 2.0000 + 0.8284i 0.0000 + 0.0000i 2.0000 + 4.8284i

Här får man frekvenskomponenter i f(2) och f(4) (och speglingar vid f(8) och f(6)), vilket motsvarar grundton och tredjeton. Dessa båda frekvenskomponenter är alldeles nödvändiga för att återskapa den ursprungliga digitala vågformen [1 1 1 1 -1 -1 -1 -1].

Det här exemplet är fel eller åtminstone olämpligt, fyrkantvågen har inget frekvensinnehåll vid 4*f0. Jag borde ha tagit en sågtandsvåg i stället:
>> p=[-7 -5 -3 -1 1 3 5 7]

p =

-7 -5 -3 -1 1 3 5 7

>> f=fft(p)

f =

Columns 1 through 4

0.0000 + 0.0000i -8.0000 +19.3137i -8.0000 + 8.0000i -8.0000 + 3.3137i

Columns 5 through 8

-8.0000 + 0.0000i -8.0000 - 3.3137i -8.0000 - 8.0000i -8.0000 -19.3137i

Här ser man frekvensinnehållet vid fs/2 i f(5)=-8

Eftersom indata ligger i realdelen kan fem spektrumpunkterna kan fås ur f som
>> speg=[real(f(1)) f(2)+conj(f(8)) f(3)+conj(f(7)) f(4)+conj(f(6)) real(f(5))]

speg =

Columns 1 through 5

0.0000 + 0.0000i -16.0000 +38.6274i -16.0000 +16.0000i -16.0000 + 6.6274i -8.0000 + 0.0000i

dvs vågformen innehåller frekvenserna fs/8, 2*fs/8, 3*fs/8 och 4*fs/8, men inget i 0*fs/8 (DC) eftersom vågformen ligger symmetriskt kring nollan.

Man behöver alltså fem frekvenser för att beskriva 8 sampel, tre av de fem har både fas och amplitud. DC och fs/2 har ingen fasinformation.

[IngOehman]

Jag tänker gärna på sånt här i termer av DFT och går i limes.

När man gör tex en 256-punkters DFT så matar man in 256 komplexa tal och får ut 256 komplexa tal. Enklast blir det om man låter imaginärdelen i indata vara noll, då blir informationen över fs/2 speglad. 1:a och 128:e samplet i utdata motsvarar då hur mycket DC det finns och hur mycket av fs/2 det finns. De innehåller dock ingen info om fasläget på de två. Inget av dem är meningsfullt, man kan visserligen se DC som en sinus som har fastnat med frekvensen noll och fasläget 90 grader, eller något annat fasläge.

Ja, och min poäng är att denna DC-signal inte är en ursprungsignal. Det tillåts inte av samplings-
teoremet. Den ursprungliga sinustonen kan inte repreduceras ens med oändligt många termer i
rekonstruktionsfiltret. Därför är den otillåten.

DC-signalen är i allra högsta grad tillåten. Men den har ingenting med signalen vid fs/2 att göra, annat än att de båda beskrivs utan fasläge. Tittar man på vad som händer i fouriertransformen är DC-komponenten helt enkelt medelvärdet av alla sampel. Eller möjligen summan, beroende på vilken variant av FT man använder.

Jag uttryckte mig illa, bedrövligt illa rent av. Jag pratade inte om insignaler (där DC självklart är
tillåtet) utan om falska utsignaler, och vad jag menade är att man när man passerar Fs/2 får vik-
ning som gör att den rekonstruerade signalen fortsätter mot DC istället för att fortsätta uppåt.
Men ned till DC (av okänd amplitud som dock understiger eller kan tangera insignalens peakvärde)
kommer man ju inte förrän vid Fin = Fs.

Och vad du menar med att man får någon meningsfull information (amplitud men inte fas) om frek-
vensen F = Fs/2 förstår jag inte. Det får man ju inte. Om samplen hamnar i nollgenomgången så
blir ju sampelvärdena noll. Om nollgenomgångarna inte sammanfaller med samplingsögonblicken
så får man förvisso kodad signal, men kan inte veta hur stor den är i förhållande till insignalens
verkliga amplitud.

Kort sagt - Fin < Fs/2 är ett krav.

I den praktiska världen där man inte har oändligt många termer för rekonstruktionen, kan man ju
dessutom välja att ställa specifika krav på hur höga frekvenser in man tilllåter, för att hålla sid-
banden på den rekonstruerade signalen rimligt små vid de högsta frekvenserna som slipper igenom.

Jag kan t ex tycka att sincens brickwallfrekvens skall ligga så många Hz under Fs/2 att periodtiden
för frekvensskillnaden är liten i förhållande till den tid som använd "sinc" är representerad.

Exempel: Säg att man låter sincen vara representerad 0,1 sekunder före och efter samplingsögon-
blicket (sin topp), då kan man sänka dess "X-multiplikator" (som i normalfallet med Fs = 44,1 kHz,
det vill säga runt 22,6757 us mellan samplen är ~138544 (2*pi*Fs/2)) till kanske 138450, således att
man får en lucka på 30 Hz vilket medger att signalen representeras med 6 perioder under sincens
varaktighet.


Vh, iö

- - - - -

PS. Begreppet X-multiplikator (m) införde jag bara av pedagogiska skäl. Nämner det bara så ingen
skall hacka på det. Men det jag menar är alltså att varje sample representeras av en sinc, på detta
sätt i tiden: A(X) = Sa*sin(X*m)/(X*m), där Sa är samplets amplitud och x är tiden mätt i sekunder
från samplet, framåt eller bakåt. Typ.

[Svante]

Nu har jag gjort en serie med uppsamplingar från 44100 Hz till 88200 Hz med min elaka signal, och med olika långa trunkerade sincar som rekonstruktionsfilter. Toppvärdena jag får visar sig öka med ungefär 0,4413 för varje fördubbling av sincens längd. Det råkar dessutom vara så att ln(2)*pi/2=0,441271 och det är ju trevligt.

Med 64000 perioder i sincen blev toppen 7,78 ggr eller 17,8 dB större än ursprungssignalens topp.

Man kan nog säga att med min elaka signal, och med rekonstruktion av vågformen med en trunkerad sinc så ökar toppens amplitud obegränsat när sincens längd ökar.

[Svante]

Och vad du menar med att man får någon meningsfull information (amplitud men inte fas) om frek-
vensen F = Fs/2 förstår jag inte. Det får man ju inte. Om samplen hamnar i nollgenomgången så
blir ju sampelvärdena noll. Om nollgenomgångarna inte sammanfaller med samplingsögonblicken
så får man förvisso kodad signal, men kan inte veta hur stor den är i förhållande till insignalens
verkliga amplitud.

Kort sagt - Fin < Fs/2 är ett krav.

Nja, i den här tråden är det jag som sätter villkoren.

Den handlar om hur stor en topp kan bli om man tillåter vilken digital signal som helst. En av alla tänkbara signaler är den som jag har använt. Den innehåller dock väldigt mycket av fs/2 och det är tillåtet, givet trådens fråga. Här handlar det om DA-omvandling, inte AD-omvandling.

Det du säger i det första citerade stycket är därmed off-topic, men alldeles riktigt, och det är därför man brukar säga att en signal ska vara strikt bandbegränsad (f<fs/2) när innan man samplar den, men här handlar det ju inte alls om sampling. Det handlar om rekonstruktion. Eller snarare hur illa det kan bli som värst när man DA-omvandlar.

Jag har försökt hitta en teoretisk maxgräns, men det visar sig att den inte finns. Och det som återstår är att maximal topphöjd i verkliga DA-omvandlare beror av hur rekonstruktionsfiltret har implementerats och att det inte finns någon överstyrningsmarginal som är garanterat säker. Detta talar ännu mer för att DAC-tillverkarna borde implementera överstyrningsmarginal i DACarna; de är ju de enda som vet hur mycket som behövs.

[Svante]

Jag kan t ex tycka att sincens brickwallfrekvens skall ligga så många Hz under Fs/2 att periodtiden
för frekvensskillnaden är liten i förhållande till den tid som använd "sinc" är representerad.

Ja, det är ytterst rimligt att göra så, annars får man ingen vidare dämpning VID fs/2. Det är också fördelaktigt att fönstra sincen och inte bara trunkera den. Det ger ett mycket bättre beteende i spärrbandet.

Det viktiga är ju hur tonkurvan för det filter som "sincen" representerar beter sig; Man vill att det ska dämpa rejält för alla frekvenser >=fs/2 men ytterst lite och rippelfritt för frekvenser en bit under fs/2. Hur stor "en bit" är kan man välja, men ju mindre biten är desto längre behöver "sincen" vara.

[IngOehman]

Du sätter villkoren, helt ok.

Och du säger att dessa är, att valfri digital signal kan få finnas.

Min synpunkt hade egentligen inte så mycket med det att göra som att det kan vara förnuftigt att
modda sincen med avseende på periodicitet i korrelation med hur olång man väljer att göra den.

Det betyder ju inte att du inte kan få ha din Fs/2-digitala signal, bara att den i en vettig DAC (med
sitt lika vettiga översamplingsfilter) inte kommer att kunna ställa till det.

Och - du har förstås rätt i att det är O.T.


Vh, iö

[Svante]

Så här växer topphöjden med sinclängd ökad från 125 till 64000:

[Svante]

Det betyder ju inte att du inte kan få ha din Fs/2-digitala signal, bara att den i en vettig DAC (med
sitt lika vettiga översamplingsfilter) inte kommer att kunna ställa till det.

Njae... Den vettiga, och dessutom realiserbara DACen kommer att behöva överstyrningsreserv även den. Kruxet är bara att vi inte kan säga hur stor den måste vara, man måste veta hur filtret är implementerat för att få veta det. Och vi VET att det är felimplementerat i många högkvalitativa DACar, som i tex Oppo- och Pioneerspelarna. De överstyr ju om de får en fullskalig digital fyrkantvåg sig tillsända.

Och för varje filter finns det en specifik "worst case"-signal som vänder upp alla sampel i filtrets impulssvar till positiva sidan. Det vore roligt att ta fram den och sedan använda den för att mäta överstyrningsreserven på varje specifik omvandlare.

Och som både du och jag har sagt: För normala inspelningar är nog detta nästan alltid ett icke-problem, tokmaximering ger mer problem, och specialsignaler spär på problemen lite ytterligare.

Enkla lösningen är alltså att bara lyssna på bra fonogram .

[IngOehman]

Well... Jo, ja, visst.


Vh, iö

[idea]

Och vad du menar med att man får någon meningsfull information (amplitud men inte fas) om frek-
vensen F = Fs/2 förstår jag inte. Det får man ju inte. Om samplen hamnar i nollgenomgången så
blir ju sampelvärdena noll. Om nollgenomgångarna inte sammanfaller med samplingsögonblicken
så får man förvisso kodad signal, men kan inte veta hur stor den är i förhållande till insignalens
verkliga amplitud.

Kort sagt - Fin < Fs/2 är ett krav.

Nja, i den här tråden är det jag som sätter villkoren.

Den handlar om hur stor en topp kan bli om man tillåter vilken digital signal som helst. En av alla tänkbara signaler är den som jag har använt. Den innehåller dock väldigt mycket av fs/2 och det är tillåtet, givet trådens fråga. Här handlar det om DA-omvandling, inte AD-omvandling.

Det du säger i det första citerade stycket är därmed off-topic, men alldeles riktigt, och det är därför man brukar säga att en signal ska vara strikt bandbegränsad (f<fs/2) när innan man samplar den, men här handlar det ju inte alls om sampling. Det handlar om rekonstruktion. Eller snarare hur illa det kan bli som värst när man DA-omvandlar.

Jag har försökt hitta en teoretisk maxgräns, men det visar sig att den inte finns. Och det som återstår är att maximal topphöjd i verkliga DA-omvandlare beror av hur rekonstruktionsfiltret har implementerats och att det inte finns någon överstyrningsmarginal som är garanterat säker. Detta talar ännu mer för att DAC-tillverkarna borde implementera överstyrningsmarginal i DACarna; de är ju de enda som vet hur mycket som behövs.

Det är möjligt att du tror att det är du som sätter villkoren men det går inte att bryta naturlagarna. Det du avhandlar är inte en digital representation av en analog signal utan något annat, okänt vad det är eftersom det inte har någon fysikalisk representation. Därmed går det inte att omvandla denna signal till den analoga domänen och påstå att toppvärdet ökat eftersom signalen inte har någon sådan representation.
Samplingsteoremet avhandlar enbart frekvensplanet det finns inget teorem som gäller på samma sätt i "nivåplanet".
Därför är ju din utredning mycket intressant om hur fullt utstyrda digitala signaler ger överslängar vid DA- omvandling som behöver hanteras av DA-omvandlaren.

[Svante]

Nja, i den här tråden är det jag som sätter villkoren.

Den handlar om hur stor en topp kan bli om man tillåter vilken digital signal som helst. En av alla tänkbara signaler är den som jag har använt. Den innehåller dock väldigt mycket av fs/2 och det är tillåtet, givet trådens fråga. Här handlar det om DA-omvandling, inte AD-omvandling.

Det du säger i det första citerade stycket är därmed off-topic, men alldeles riktigt, och det är därför man brukar säga att en signal ska vara strikt bandbegränsad (f<fs/2) när innan man samplar den, men här handlar det ju inte alls om sampling. Det handlar om rekonstruktion. Eller snarare hur illa det kan bli som värst när man DA-omvandlar.

Jag har försökt hitta en teoretisk maxgräns, men det visar sig att den inte finns. Och det som återstår är att maximal topphöjd i verkliga DA-omvandlare beror av hur rekonstruktionsfiltret har implementerats och att det inte finns någon överstyrningsmarginal som är garanterat säker. Detta talar ännu mer för att DAC-tillverkarna borde implementera överstyrningsmarginal i DACarna; de är ju de enda som vet hur mycket som behövs.

Det är möjligt att du tror att det är du som sätter villkoren men det går inte att bryta naturlagarna. Det du avhandlar är inte en digital representation av en analog signal utan något annat, okänt vad det är eftersom det inte har någon fysikalisk representation. Därmed går det inte att omvandla denna signal till den analoga domänen och påstå att toppvärdet ökat eftersom signalen inte har någon sådan representation.
Samplingsteoremet avhandlar enbart frekvensplanet det finns inget teorem som gäller på samma sätt i "nivåplanet".
Därför är ju din utredning mycket intressant om hur fullt utstyrda digitala signaler ger överslängar vid DA- omvandling som behöver hanteras av DA-omvandlaren.

Hmm, jag förstår inte riktigt. Menar du att jag bryter naturlagarna när jag försöker omvandla min maximalt elaka digitala signal till en analog signal? Vilken av dem isf?

Jag vill nog påstå att varje tänkbar digital signal har en entydigt bestämd analog representation, och om AD- och DA-omvandling görs idealt så får man tillbaka samma digitala signal om man skulle sampla den analoga signalen igen. Man måste dock göra det i exakt rätt fasläge, bla för att komponenten vid fs/2 ska bli av rätt storlek.

Nu är som sagt inte detta eller samplingsteoremet huvudnumret i tråden, utan bara hur mycket översläng det kan bli i DA-omvandlare. Idealiserade eller verkliga.

[idea]

Jo men det är ju där du tänker fel. Det gäller bara för signaler < fs/2. Du kan komma oändligt nära men bara om du samplar oändligt länge så hur du än gör så finns inte fs/2 i den digitala domänen.

[Svante]

Jo men det är ju där du tänker fel. Det gäller bara för signaler < fs/2. Du kan komma oändligt nära men bara om du samplar oändligt länge så hur du än gör så finns inte fs/2 i den digitala domänen.

Jodå. Gör en 8-punkters FFT av 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 så får du se.

...och det är ändå inte väsentligt för trådens ämne. Man behöver inte gå över i frekvensdomänen alls för att behandla trådämnet.

Frågan är helt enkelt hur stort toppvärde faltningen av en oändligt lång samplad sinc och en godtycklig digital signal kan få.

[idea]

Öhh, i diskreta fouriertransformen så ser du aldrig frekvenserna dessa får du hålla reda på själv och axeln går bara till (fs/2-df där df=1/T). Eller mer formellt speglas signalen i n*fs/2 punkterna.

[Svante]

Öhh, i diskreta fouriertransformen så ser du aldrig frekvenserna dessa får du hålla reda på själv och axeln går bara till (fs/2-df där df=1/T). Eller mer formellt speglas signalen i n*fs/2 punkterna.

Jodå, fs/2 finns visst.

Titta här (Matlab):

>> p=[ 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1]

p =

1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

>> fft(p)

ans =

0 0 0 0 8 0 0 0

8 :an representerar fs/2.

Siffrorna representerar 0*fs/8, 1*fs/8 ,2*fs/8, 3*fs/8, 4*fs/8, 5*fs/8, 6*fs/8, 7*fs/8

5*fs/8 är en spegling (komplexkonjugatet) av 3*fs/8
6*fs/8 är en spegling (komplexkonjugatet) av 2*fs/8
7*fs/8 är en spegling (komplexkonjugatet) av 1*fs/8
(...om indata är rellt)

Men 4*fs/8=fs/2 är en alldeles egen frekvens som finns. Endast realdelen av den är intressant, imaginärdelen blir noll om indata är reellt. Precis samma sak gäller för första elementet (DC), även där blir imaginärdelen noll om indata är reellt, men realdelen talar om hur mycket DC det finns i signalen.

Och man kan ju bara tänka på signalen 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1, är det inte uppenbart att den innehåller frekvensen fs/2?

[Svante]

Nu har jag testat min egen omsamplare och försökt generera en "worst case"-signal till den. Jag tar impulssvaret till den och klipper det och använder som signal (+några steg till). På så sätt summeras impulssvarets absolutbelopp, likt det jag gjorde för sincarna.

Med standardinställningen blev överslängen 2,37 ggr eller 7,4 dB. Med en lite finare inställning blev det 3,06 ggr eller 9,7 dB.

Med en inställning som ger en tonkurva som påminner om de jag sett i DACar så belv det 2,70 ggr eller 8,6 dB.

Så worst case ligger nog där någonstans i praktiken. Den största marginal jag har sett att någon tar (jag har inte kollat så noga) är 3,5 dB. Antagligen anses det vara ett icke-problem eftersom worst case knappast förekommer i praktiken.

Det vore kul om någon som är duktig på andra editorer, som Audacity eller vad de nu heter kunde ta några tokmastrade fonogram i 44100 Hz sampla upp dem till 88200 Hz. Sedan kan man göra samma sak med en version som man har sänkt 10 dB och se om de är lika sånär som på 10 dB.

[IngOehman]

Öhh, i diskreta fouriertransformen så ser du aldrig frekvenserna dessa får du hålla reda på själv och axeln går bara till (fs/2-df där df=1/T). Eller mer formellt speglas signalen i n*fs/2 punkterna.

Jodå, fs/2 finns visst.

Titta här (Matlab):

>> p=[ 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1]

p =

1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

>> fft(p)

ans =

0 0 0 0 8 0 0 0

8 :an representerar fs/2.

Siffrorna representerar 0*fs/8, 1*fs/8 ,2*fs/8, 3*fs/8, 4*fs/8, 5*fs/8, 6*fs/8, 7*fs/8

5*fs/8 är en spegling (komplexkonjugatet) av 3*fs/8
6*fs/8 är en spegling (komplexkonjugatet) av 2*fs/8
7*fs/8 är en spegling (komplexkonjugatet) av 1*fs/8
(...om indata är rellt)

Men 4*fs/8=fs/2 är en alldeles egen frekvens som finns. Endast realdelen av den är intressant, imaginärdelen blir noll om indata är reellt. Precis samma sak gäller för första elementet (DC), även där blir imaginärdelen noll om indata är reellt, men realdelen talar om hur mycket DC det finns i signalen.

Och man kan ju bara tänka på signalen 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1, är det inte uppenbart att den innehåller frekvensen fs/2?

Om du anser att den innehålls i koden under vissa omständigheter må vara hänt, men den får inte innehållas. Det är poängen. Den får inte
finnas vid samplingen, och rekonstruktionen får inte skapa den. Det kan man åstadkomma på det sätt jag beskrev tidigare - man väljer en
sinc där sincens brickwallfrekvens ligger så många Hz under Fs/2 att periodtiden för frekvensskillnaden är liten i förhållande till den tid som
använd "sinc" är representerad, tror jag att jag skrev, ungefär.


Vh, iö

[anjora]

Detta var faktiskt rätt intressant och förklarar också varför dacar i regel inte använder rena sinc filter utan begränsar dessa för att undvika klippning, även om inte ljudkortet klipper så kan förstärkaren eller högtalaren göra det..

En lösning på dessa problem(om man vill fortsätta digitalt) är naturligtvis att höja samplingfrekvensen till 96KS/s då detta möjliggör snällare filter.

[Svante]

Om du anser att den innehålls i koden under vissa omständigheter må vara hänt, men den får inte innehållas. Det är poängen. Den får inte finnas vid samplingen, och rekonstruktionen får inte skapa den. Det kan man åstadkomma på det sätt jag beskrev tidigare - man väljer en sinc där sincens brickwallfrekvens ligger så många Hz under Fs/2 att periodtiden för frekvensskillnaden är liten i förhållande till den tid som
använd "sinc" är representerad, tror jag att jag skrev, ungefär.

Får och får... Det beror väl på vem som bestämmer. Jag kan lova dig att den finns i någon grad på i stort sett varje digitalt fonogram, och ganska mycket om det är tokmastrat. Allt är ju en fråga om företeelser och dess konsekvenser.

Men igen då, sett i trådens sammanhang: OM den finns i den digitala världen och OM man använder en väldigt lång sinc i interpolationsfiltret så BLIR det en översläng.

Och OM man har en längre "periodtid" i sincen så att fs/2 försvinner så finns det en annan "worst case"-signal som provocerar fram ett likartat fenomen. Jag körde nyss några (i inlägget nyss) där periodiciteten var långsammare.

[idea]

Lite märkligt att man måste tala om för en universitetslektor att fysiken inte gäller om man går utanför definitionen av matematiken. Definitionen av fouriertransformen är att den endast är giltig vid frekvenser < fs/2. Att du får ett svar som du tolkar är giltigt där är ju en helt annan sak men tolkningen är fel.
Överslängarna vid DA-omvandlingen är ju också en konsekvens av samplingen och att man inte tänker på hur analoga signaler representeras i det digitala planet.
Begrunda följande figur av en sinussignal:


( http://bilder.idea53.se/#!album-2-1 jag ser inte bilden vid förhandsgranskning så jag provar även denna väg)

Om man samplar vid de röda tidpunkterna får man en digital representation med värden {0, 0.85, 0.85, 0, -0.85, -0.85, 0}. Om man i det digitala planet höjer nivån till +-1 maximalt så kommer den analoga representationen att bli c:a +-1.2 maximalt. Om inte DA-omvandlaren kan hantera detta blir den överstyrd. Om man kommer längre ut på flankerna vid samplingen så kommer maximala analoga nivån att stiga om man förstärker digitalt och ju närmre nollgenomgångarna desto högre nivå. Teoretisk borde det då gå att konstruera en digitalt förstärkt signal som går mot oändlig analog nivå när vi kommer oändligt nära fs/2.
Detta är ju grundläggande signalteori och det är intressant att inte fler ser hur detta påverkar kretskonstruktionen. Iofs behandlar samplingsteoremet ju bara att en godtycklig signal entydigt kan återskapas vid givna förutsättningar. Den avhandlar ju inte vad som händer om man förändrar den digitala representationen av signalen. Det får man ju klura ut själv vilket flertalet DA-omvandlartillverkare tydligen inte gjort. Fast till dess försvar så får man väl tänka på att tokmaximering inte finns nämnt i någon signalteorikurs.

Hjälpte till med bilden. /Bosse

[idea]

Slog mig att detta borde innebära att ju högre samplingsfrekvens desto högre teoretisk analog nivå går att få. Visserligen vid ohörbara frekvenser, om vi pratar över 44 kHz sampling, men en överstyrd DAC klipper ju alla frekvenser.

[Svante]

Hmm, lite konstigt inlägg tycker jag. Vad har mitt yrke med det hela att göra? Först säger du att jag inte har förstått, sedan skriver du ungefär det som jag har hävdat sedan sidan 1.

Utom det där med definitionen av Fouriertransformen. Fysik har inte med det hela att göra, detta är helt och hållet matematik/signalbehandling. Du säger axiomatiskt att Fouriertransformen inte är giltig för frekvensen fs/2. Det får du nog visa om jag ska tro på dig. Jag säger att man kan få reda på cosinuskomponenten (realdelen), men inte sinuskomponenten (imaginärdelen) vid fs/2. Har jag fel i det?

Att man sedan av bekvämlighetsskäl brukar ange f<fs/2 som villkor eftersom man oftast behöver både sin- och cosdelen är en annan sak.

När jag tänker närmare efter så är det nog snarare Fourierserier än Fouriertransformen som det är relevant att titta på här. Om jag ska beskriva en sekvens av 8 sampel med en fourierserie behöver Fourierkomponenterna ha 8 frihetsgrader. Det finns en cosinusterm vid DC, en cosinusterm vid fs/2 och tre sinus- och cosinustermer vid 1*fs/8, 2*fs/8 och 3*fs/8.

Och sekvensen 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 kan beskrivas som Fourierserie med
0*cos(0*pi/8*n)
+0*cos(1*pi/8*n)+0*sin(1*pi/8*n)
+0*cos(2*pi/8*n)+0*sin(2*pi/8*n)
+0*cos(3*pi/8*n)+0*sin(3*pi/8*n)
+1*cos(4*pi/8*n)

dvs 8 frihetsgrader. På vilket sätt är det en felaktig tolkning? Det som kommer ur en FFT är fullständigt entydigt, det är väl först när man tolkar det som att cosinuskomponenten vid fs/2 inte är giltig som det blir fel.

Resten av det du skriver tror jag att jag instämmer i och jag undrar lite varför du mer eller mindre upprepar det jag har skrivit, på ett sätt som åtminstone jag tolkar som att du försöker motsäga mig med det.

Lite märkligt att man måste tala om för en universitetslektor att fysiken inte gäller om man går utanför definitionen av matematiken. Definitionen av fouriertransformen är att den endast är giltig vid frekvenser < fs/2. Att du får ett svar som du tolkar är giltigt där är ju en helt annan sak men tolkningen är fel.
Överslängarna vid DA-omvandlingen är ju också en konsekvens av samplingen och att man inte tänker på hur analoga signaler representeras i det digitala planet.
Begrunda följande figur av en sinussignal:
<bild borttagen>

( http://bilder.idea53.se/#!album-2-1 jag ser inte bilden vid förhandsgranskning så jag provar även denna väg)

Om man samplar vid de röda tidpunkterna får man en digital representation med värden {0, 0.85, 0.85, 0, -0.85, -0.85, 0}. Om man i det digitala planet höjer nivån till +-1 maximalt så kommer den analoga representationen att bli c:a +-1.2 maximalt. Om inte DA-omvandlaren kan hantera detta blir den överstyrd. Om man kommer längre ut på flankerna vid samplingen så kommer maximala analoga nivån att stiga om man förstärker digitalt och ju närmre nollgenomgångarna desto högre nivå. Teoretisk borde det då gå att konstruera en digitalt förstärkt signal som går mot oändlig analog nivå när vi kommer oändligt nära fs/2.
Detta är ju grundläggande signalteori och det är intressant att inte fler ser hur detta påverkar kretskonstruktionen. Iofs behandlar samplingsteoremet ju bara att en godtycklig signal entydigt kan återskapas vid givna förutsättningar. Den avhandlar ju inte vad som händer om man förändrar den digitala representationen av signalen. Det får man ju klura ut själv vilket flertalet DA-omvandlartillverkare tydligen inte gjort. Fast till dess försvar så får man väl tänka på att tokmaximering inte finns nämnt i någon signalteorikurs.

Hjälpte till med bilden. /Bosse

[Svante]

Slog mig att detta borde innebära att ju högre samplingsfrekvens desto högre teoretisk analog nivå går att få. Visserligen vid ohörbara frekvenser, om vi pratar över 44 kHz sampling, men en överstyrd DAC klipper ju alla frekvenser.

Nej, det måste vara ett missförstånd. Ökar man samplingsfrekvensen skalar allt om i tidsled, men i amplitudled blir det samma.

Edit: Eller menar du att signalen skulle behålla sin frekvens?

[idea]

Hmm, lite konstigt inlägg tycker jag. Vad har mitt yrke med det hela att göra? Först säger du att jag inte har förstått, sedan skriver du ungefär det som jag har hävdat sedan sidan 1.

Utom det där med definitionen av Fouriertransformen. Fysik har inte med det hela att göra, detta är helt och hållet matematik/signalbehandling. Du säger axiomatiskt att Fouriertransformen inte är giltig för frekvensen fs/2. Det får du nog visa om jag ska tro på dig. Jag säger att man kan få reda på cosinuskomponenten (realdelen), men inte sinuskomponenten (imaginärdelen) vid fs/2. Har jag fel i det?

Att man sedan av bekvämlighetsskäl brukar ange f<fs/2 som villkor eftersom man oftast behöver både sin- och cosdelen är en annan sak.

När jag tänker närmare efter så är det nog snarare Fourierserier än Fouriertransformen som det är relevant att titta på här. Om jag ska beskriva en sekvens av 8 sampel med en fourierserie behöver Fourierkomponenterna ha 8 frihetsgrader. Det finns en cosinusterm vid DC, en cosinusterm vid fs/2 och tre sinus- och cosinustermer vid 1*fs/8, 2*fs/8 och 3*fs/8.

Och sekvensen 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 kan beskrivas som Fourierserie med
0*cos(0*pi/8*n)
+0*cos(1*pi/8*n)+0*sin(1*pi/8*n)
+0*cos(2*pi/8*n)+0*sin(2*pi/8*n)
+0*cos(3*pi/8*n)+0*sin(3*pi/8*n)
+1*cos(4*pi/8*n)

dvs 8 frihetsgrader. På vilket sätt är det en felaktig tolkning? Det som kommer ur en FFT är fullständigt entydigt, det är väl först när man tolkar det som att cosinuskomponenten vid fs/2 inte är giltig som det blir fel.

Resten av det du skriver tror jag att jag instämmer i och jag undrar lite varför du mer eller mindre upprepar det jag har skrivit, på ett sätt som åtminstone jag tolkar som att du försöker motsäga mig med det.

Ursäkta om jag var lite otydlig med vad jag var ense och oense om. Vi börjar med del två som jag är överens om och tycker är viktigt att dra fram i ljuset. Jag blev bara så exalterad när jag kom på hur jag skulle visualisera problemet att det blev lite otydligt att jag grafiskt visade samma sak som du gjort via matematik.

Vad gäller del ett så tycker jag att din profession är relevant att reflektera över eftersom jag uppfattat att du undervisar i ämnet som avhandlas, eller åtminstone i ämnen som baseras på detta (borde väl petat in någon smiley men är lite för old-fashioned för att tänka på sånt).
Om vi tittar på definitionen av Diskreta Fouriertransformen så lyder denna enligt mina gamla textböcker;

Notera att definitionen inkluderar bara upp till steg N-1 (dvs fs/2 är inte inkluderat, även om detta inte står explicit så följer det av tidigare definitioner - samplingsteoremet).
Det var visserligen närmare 40 år sedan jag läste dessa ämnen men jag har inte sett att grunddefinitionerna ändrats sedan dess. Det som förvånar mig är att de tydligen glömts bort i en tid när de ständigt tillämpas i vår vardag.

[idea]

Slog mig att detta borde innebära att ju högre samplingsfrekvens desto högre teoretisk analog nivå går att få. Visserligen vid ohörbara frekvenser, om vi pratar över 44 kHz sampling, men en överstyrd DAC klipper ju alla frekvenser.

Nej, det måste vara ett missförstånd. Ökar man samplingsfrekvensen skalar allt om i tidsled, men i amplitudled blir det samma.

Edit: Eller menar du att signalen skulle behålla sin frekvens?

Blev lite grumligt där, var en snabb tanke att om med minskad dT (ökad samplingsfrekvens) får vi ökat 1/dT och ju närmre fs/2 vi kommer desto större "tokmaximerad" sinus kan vi teoretiskt skapa. Därför borde en DA med högre samplingshastighet kunna ge högre analog utsignal baserat på detta (rent teoretiskt).
Ju högre samplingshastighet desto högre derivata kan vi återge och med den högre "översläng".

[Svante]

Om vi tittar på definitionen av Diskreta Fouriertransformen så lyder denna enligt mina gamla textböcker;

Notera att definitionen inkluderar bara upp till steg N-1 (dvs fs/2 är inte inkluderat, även om detta inte står explicit så följer det av tidigare definitioner - samplingsteoremet).
Det var visserligen närmare 40 år sedan jag läste dessa ämnen men jag har inte sett att grunddefinitionerna ändrats sedan dess. Det som förvånar mig är att de tydligen glömts bort i en tid när de ständigt tillämpas i vår vardag.

Nej, k=0..N-1 säger att fs (inte fs/2) inte är inkluderat. För en 8-punkters FFT låter man k gå från 0 till 7. För att få ut fs/2 sätter man k till 4.

Matlab, som jag använde i mitt exempel indexerar dock med början på 1, inte 0 som är brukligt. Därför blir frekvensvariablerna indexerade från 1-8 och fs/2 hamnar i den variabel som Matlab numrerar med 5.

Alltså i de 8 utvariablerna ligger

0*fs/8
1*fs/8
2*fs/8
3*fs/8
4*fs/8 <---- =fs/2
5*fs/8
6*fs/8
7*fs/8

Och innan man drar in samplingsteoremet så bör man också fundera på om det är relevant för trådfrågan. Samplingsteoremet säger att om en signal är strikt bandbegränsad så att f<fs/2 så kan man återskapa den exakt. Samplingsteoremet säger dock ingenting om vad som händer om frekvensen fs/2 finns med. Det säger inte att man inte kan återskapa signalen exakt. Det säger jag att man kan, om sinuskomponenten vid fs/2=0, alltså om man bara har en cosinuskomponent. Detta är dock ganska oanvändbart i praktiken, men handlar just om det där femte elementet ovan.

Och, här kommer det viktiga, detta femte element kan uppstå i den digitala världen, framför allt om man gör en massa otrevlig masteringsprocessning. Vilket i sin tur kan få omvandlarna att överstyra.

...och överstyra kan de göra även om man inte har fs/2 med den digitala signalen, ursprunget till den diskussionen är ju bara att validiteten i min maximalt elaka signal ifrågasattes. Det finns andra elaka signaler, som jag visade nyss.

Några citat från wickan:

Nyquist-Shannons samplingsteorem, även kallad Nyquistteoremet, Shannonteoremet eller samplingsteoremet, talar om med vilken frekvens man måste mäta en vågrörelse med hjälp av sampling för att kunna återskapa signalen. Teoremet går i grova drag ut på att man måste, för att undvika fel, sampla med en frekvens som är minst dubbla signalens bandbredd annars blir resultatet av mätningen lägre än signalens verkliga frekvens.

The theorem does not preclude the possibility of perfect reconstruction under special circumstances that do not satisfy the sample-rate criterion. (See Sampling of non-baseband signals below, and Compressed sensing.)

Den här är jag dock lite mer tveksam till, de två sista meningarna stämmer inte överens:

Sampling is the process of converting a signal (for example, a function of continuous time or space) into a numeric sequence (a function of discrete time or space). Shannon's version of the theorem states:

If a function x(t) contains no frequencies higher than B hertz, it is completely determined by giving its ordinates at a series of points spaced 1/(2B) seconds apart.

A sufficient sample-rate is therefore 2B samples/second, or anything larger. Conversely, for a given sample-rate fs, the bandlimit for perfect reconstruction is B<fs/2.

[lilltroll]

Som alternativ till serien 0->N-1 för DFT:n som visades ovan finns

[-½N, ½N-1] för jämn DFT längd
[-½(N-1), ½(N-1)] för udda DFT längd

i MATLAB kan man använda fftshift(X) resp. ifftshift(X) för att shifta till sådan form.

Har man exempelvis 8 samples i tidsdomänen fås även 8 punkter efter utförd DFT, och med fftshift(fft(x))
så motsvarar arrayens första tal frekvensen -½fs.

"fftshift is useful for visualizing the Fourier transform with the zero-frequency component in the middle of the spectrum"

Exempel:
>> fftshift(fft([1 -1 1 -1 1 -1 1 -1]))
ans =


8 0 0 0 0 0 0 0

Tolkning: Signalen har (endast) energi vid frekvensen fs/2 (== -fs/2)

EDIT:
Klistrar in ett bevis angående periodiciteten hos DFT för att styrka ovan:

[Svante]

Slog mig att detta borde innebära att ju högre samplingsfrekvens desto högre teoretisk analog nivå går att få. Visserligen vid ohörbara frekvenser, om vi pratar över 44 kHz sampling, men en överstyrd DAC klipper ju alla frekvenser.

Nej, det måste vara ett missförstånd. Ökar man samplingsfrekvensen skalar allt om i tidsled, men i amplitudled blir det samma.

Edit: Eller menar du att signalen skulle behålla sin frekvens?

Blev lite grumligt där, var en snabb tanke att om med minskad dT (ökad samplingsfrekvens) får vi ökat 1/dT och ju närmre fs/2 vi kommer desto större "tokmaximerad" sinus kan vi teoretiskt skapa. Därför borde en DA med högre samplingshastighet kunna ge högre analog utsignal baserat på detta (rent teoretiskt).
Ju högre samplingshastighet desto högre derivata kan vi återge och med den högre "översläng".

Nä, det är nog fortfarande ett tankefel där. Om både signalens frekvens och fs ökar i samma grad kommer graferna att se likadana ut, fast med ulika siffror på axlarna. Och om signalens frekvensinnehåll är detsamma och bara fs ökar kan det nog bli lite olika, men antagligen sjunker överskjutet, relativt sett. Att bara öka fs är ju som att sampla upp, och då blir den uppsamplade signalen referensen som det ska skjuta över.

[Svante]

Som alternativ till serien 0->N-1 för DFT:n som visades ovan finns

[-½N, ½N-1] för jämn DFT längd
[-½(N-1), ½(N-1)] för udda DFT längd

i MATLAB kan man använda fftshift(X) resp. ifftshift(X) för att shifta till sådan form.

Har man exempelvis 8 samples i tidsdomänen fås även 8 punkter efter utförd DFT, och med fftshift(fft(x))
så motsvarar arrayens första tal frekvensen -½fs.

"fftshift is useful for visualizing the Fourier transform with the zero-frequency component in the middle of the spectrum"

Exempel:
>> fftshift(fft([1 -1 1 -1 1 -1 1 -1]))
ans =


8 0 0 0 0 0 0 0

Tolkning: Signalen har (endast) energi vid frekvensen fs/2 (== -fs/2)

EDIT:
Klistrar in ett bevis angående periodiciteten hos DFT för att styrka ovan:

Ahaja, förstås kan man se frekvensen 6fs/8 som -2fs/8 pga spektrums periodicitet. Det är kanske mer pedagogiskt.

Det gör att man kan se min lista som

-4*fs/8 <---- =fs/2
-3*fs/8
-2*fs/8
-1*fs/8
0*fs/8
1*fs/8
2*fs/8
3*fs/8

I stället för

0*fs/8
1*fs/8
2*fs/8
3*fs/8
4*fs/8 <---- =fs/2
5*fs/8
6*fs/8
7*fs/8

Intressant också med DFT med udda antal sampel, då kan ju faktiskt inte fs/2 representeras.

[IngOehman]

Slog mig att detta borde innebära att ju högre samplingsfrekvens desto högre teoretisk analog nivå går att få. Visserligen vid ohörbara frekvenser, om vi pratar över 44 kHz sampling, men en överstyrd DAC klipper ju alla frekvenser.

Nej, det måste vara ett missförstånd. Ökar man samplingsfrekvensen skalar allt om i tidsled, men i amplitudled blir det samma.

Edit: Eller menar du att signalen skulle behålla sin frekvens?

Blev lite grumligt där, var en snabb tanke att om med minskad dT (ökad samplingsfrekvens) får vi ökat 1/dT och ju närmre fs/2 vi kommer desto större "tokmaximerad" sinus kan vi teoretiskt skapa. Därför borde en DA med högre samplingshastighet kunna ge högre analog utsignal baserat på detta (rent teoretiskt).
Ju högre samplingshastighet desto högre derivata kan vi återge och med den högre "översläng".

Fast oavsett vilket så är ju Fs oändligt mycket mer än DC, och byte av samplingsfrekvens är jämförbart med att
zooma in horisontellt, och hur man zoomar hit eller dit påverkar inte toppamplituden.

Samma villkor vad avser toppamplitud gäller helt enkelt, oavsett om vi samplar med 44100 smp/us, 44100smp/s
eller med 44100 smp/h - eller 44100 smp/m! Per vad spelar ingen roll helt enkelt så länge det representerar det
vi har på X-axeln när vi betraktar resultatet.


Vh, iö

[lilltroll]

Intressant också med DFT med udda antal sampel, då kan ju faktiskt inte fs/2 representeras.

--- för man behöver ett jämnt antal samples i tids-domänen för att beskriva N perioder av ½fs.
Eller - periodiciteten gäller även i tids-domänen - vilket någon som hette Svante lärde mig en gång i tiden med RTsect.

Talsekvensen ... 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ...

Kan beskrivas som en serien [1 0] med oändlig periodicitet
och dess

DFT = [1 1]

dvs den har en DC komponent och en AC komponent vid ½fs och båda har amplituden 1/(N) = ½

Gör vi istället en samma sak på serien [1 0 1] (som har udda längd)
så motsvara det den oändliga serien ..... 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 ... vilket är en helt annan talföljd än den första
och den har ingen fs/2 komponent, men väl en DC

DFT = 0.5 - 0.866i , 2.0 , 0.5 + 0.866i

DC medelvärdet är 2/N = 2/3 = 0.667

En talsekvens av udda längd kan helt enkelt inte ha någon ½fs komponent om den är periodisk.

[Svante]

Talsekvensen ... 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ...

Kan beskrivas som en serien [1 0] med oändlig periodicitet
och dess

DFT = [1 1]

dvs den har en DC komponent och en AC komponent vid ½fs och båda har amplituden 1/(N) = ½

Haha, ja det där måste ju vara den minsta möjliga meningsfulla Fouriertransformen... Fourierserien blir x(n)=1*cos(0*pi*n)+1*cos(1*pi*n)

[Svante]

Haha, ja det där måste ju vara den minsta möjliga meningsfulla Fouriertransformen... Fourierserien blir x(n)=1*cos(0*pi*n)+1*cos(1*pi*n)

... delat med två...

[IngOehman]

Det framgår inte vad som är Lilltrolls insats i ditt förra citat, eller varför han är med trots att det
inget finns något han skrivit med i det, eller gör det det?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Vill nog envisas med att fortfarande hävda att det är fel att påstå att F = Fs/2 kan representeras.

Den kan VARKEN representeras entydigt med avseende på fas eller amplitud. Tycks det inte finnas
signal så kan det bero på att samplena hamnat i nollgenomgången, men eftersom man inte kan ut-
gå ifrån att det finns signal så vet man inte att man träffat nollgenomgångar. Och om det tycks
finnas signal (samplen är omväxlande positiva och negativa) så vet vi bara hur stor signalen MINST
är. Inte hur stor dem maximalt är. Och för varje förmodad signalstorlek finns dessutom två tänk-
bara faslägen som kan ge samma samples

Så igen; F = Fs/2 är en otillåten signal.

Bara för att vara tydlig så säger jag inte att Svante inte får leka med tanken att det finns en sådan
signal kodad där likt förbaskat, på grund av vad det än är, t ex signalmisshandel i digitala domänen,
men det är alltså inte en entydig kodning - inte en som tillgodoser samplingsteoremet.

Jag vill även än en gång påstå att man INTE kan veta VARKEN amplitud eller fas på en sådan signal.
Bara en min-amplitud.


Vh, iö

[Svante]

Det framgår inte vad som är Lilltrolls insats i ditt förra citat, eller varför han är med trots att det
inget finns något han skrivit med i det, eller gör det det?

Aha, nej det blev fel. Det som ser ut att vara citat av mig är citat av lilltroll.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Vill nog envisas med att fortfarande hävda att det är fel att påstå att F = Fs/2 kan representeras.

Den kan VARKEN representeras entydigt med avseende på fas eller amplitud. Tycks det inte finnas
signal så kan det bero på att samplena hamnat i nollgenomgången, men eftersom man inte kan ut-
gå ifrån att det finns signal så vet man inte att man träffat nollgenomgångar. Och om det tycks
finnas signal (samplen är omväxlande positiva och negativa) så vet vi bara hur stor signalen MINST
är. Inte hur stor dem maximalt är. Och för varje förmodad signalstorlek finns dessutom två tänk-
bara faslägen som kan ge samma samples

Så igen; F = Fs/2 är en otillåten signal.

Bara för att vara tydlig så säger jag inte att Svante inte får leka med tanken att det finns en sådan
signal kodad där likt förbaskat, på grund av vad det än är, t ex signalmisshandel i digitala domänen,
men det är alltså inte en entydig kodning - inte en som tillgodoser samplingsteoremet.

Jag vill även än en gång påstå att man INTE kan veta VARKEN amplitud eller fas på en sådan signal.
Bara en min-amplitud.


Vh, iö

Alltså, jag skriver det här trots att jag tror att du vet det, men för att det verkar av det du skriver som att du inte vet det.

En sinusformad signal vid en viss frekvens kan beskrivas med en amplitud och ett fasläge, men den kan också beskrivas som summan av en sinus och en cosinus. När man pratar om Fourierserier brukar man använda sin/cos-representationen eftersom det är den som kommer ur en Fouriertransform i form av imaginär- och realdelar. Fouriertransformen klarar att detektera cosinusdelen, men inte sinusdelen vid fs/2, vilket förstås innebär precis det du säger att om fasläget är sådant att man samplar i nollgenomgångarna (=det är en sinus) så missar man fs/2. Om man däremot samplar i topparna (=det är en cosinus) så ser man signalen med full styrka.

Uttryckt matematiskt: a*cos(wt) + b*sin(wt) = sqrt(a²+b²) * sin(wt±fi) där fi ger av tan(fi)=a/b (± måste väljas beroende på tecknen på b&a)

Jag är lite förvånad över att du pratar om "otillåtna" signaler, det låter som att du tumregelmässigt exkluderar cosinusdelen av fs/2 ur fouriertransformen bara för att du förutsätter att det är normal sampling det handlar om. Alltså sådan där fasläget på fs/2 kan vara vad som helst.

Jag påstår att alla frekvenser <fs/2 kan återskapas med amplitud på både sinus- och cosinusdelen och att amplituden av cosinusdelen av fs/2 kan återskapas med rätt amplitud. Här utesluter jag inte cosinusdelen tumregelmässigt; man KAN ju faktiskt återskapa den.

Och i beskrivningen av tidsdiskreta signaler med Fourierserier är cosinusdelen av fs/2 nödvändig för att alla sekvenser (med jämn längd) ska kunna beskrivas med en Fourierserie.

Jag kan tex generera sekvensen [1 -1 1 -1 1 -1 1 -1], Fourier säger att den och alla andra sekvenser kan beskrivas som en summa av sinusar, men för att kunna göra det behövs fs/2. Att kalla den otillåten felaktigt, den ingår ju i beskrivningen av den digitala signalen. Det kan vara en praktisk begränsning i ett verkligt samplat system, men den är inte nödvändig, det beror på syfte.

Jag tror att vi är överens om att frekvensen fs/2 bör filtreras bort i en verklig AD-omvandlare. Detta dels för att man inte kan göra oändligt branta filter, men också för att man typiskt inte vet fasläget på den analoga signalen man ska sampla.

Och, och det tror jag också att vi är överens om, frekvensen fs/2 (cosinusdelen) kan uppstå i den digitala världen, tex vid syntes eller tokmastering. Och detta kan en DA-omvandlare behöva hantera. Liksom andra signaler som kan ge sampelvärden större än full utstyrning vid översampling.

[IngOehman]

Okej... Ny infallsvinkel, som jag hoppas jag skall nå fram med: Det är till ingen eller väldigt
måttlig nytta, att veta cosinusdelens amplitud allena.

Den kan vara noll trots att man har massor av signal, och även om man har en cosinusdel så
säger den inte något annat om signalen än att den är MINST så stor.

Därför är cosinusdelen av intet värde. Det är otillräcklig information om signalen för att sig-
nalen skall kunna beskrivas.

- - -

Så igen - BÅDE amplitud och fas för frekvensen Fh/2 är ovetbar. Och därför så får den inte
finnas med, alls. Detta alltså trots att man från sampeldata (ja, cosdelen) kan se hur stor in-
signalen var "minst".

- - -

Men det är inte möjligt att veta precis hur insignalen såg ut, och därför är det ju heller inte
möjligt att rekonstruera den från sampledata.

Gick det fram nu då?


Vh, iö

[IngOehman]

PS. Det finns kul saker man kan göra dock, om man får spåna lite. En kul sak man kan göra, som
i hög grad förbättrar möjligheten att koda höga frekvenser som är statiska, är att addera ett tids-
brus på samplingsfrekvensen. Ett känt brus, t ex ett i förväg bestämt brusmönster. Egentligen är
det inte optimalt att kalla det ett brus kanske dock. Det kan ju vara något så enkelt som en fas-
togglande frekvens, men möjligheterna är legio.

Det är lite småspännade att räkna lite på vad som händer om man gör så, och sedan extraherar
så mycket info som finns ur det som man samplat sålunda...

[Svante]

Okej... Ny infallsvinkel, som jag hoppas jag skall nå fram med: Det är till ingen eller väldigt
måttlig nytta, att veta cosinusdelens amplitud allena.

Den kan vara noll trots att man har massor av signal, och även om man har en cosinusdel så
säger den inte något annat om signalen än att den är MINST så stor.

Därför är cosinusdelen av intet värde. Det är otillräcklig information om signalen för att sig-
nalen skall kunna beskrivas.

- - -

Så igen - BÅDE amplitud och fas för frekvensen Fh/2 är ovetbar. Och därför så får den inte
finnas med, alls. Detta alltså trots att man från sampeldata (ja, cosdelen) kan se hur stor in-
signalen var "minst".

- - -

Men det är inte möjligt att veta precis hur insignalen såg ut, och därför är det ju heller inte
möjligt att rekonstruera den från sampledata.

Gick det fram nu då?


Vh, iö

Ja, det gick fram den här gången och den förra. Jag förstår precis det du säger.

Och med all önskvärd tydlighet framgår det att du ENBART ser Fourierserierna som ett sätt att beskriva en samplad signal som har varit analog.

Det gör inte jag.

Kan du tänka dig att man vill beskriva en godtycklig sampelsekvens med N sampel med N Fourierkoefficienter? Utan cosinuskomponenten vid fs/2 GÅR inte det i det allmänna fallet. Du kan förstås bestäma att vissa sekvenser inte är tillåtna, men det finns ingen naturlag som säger att jag inte får göra sekvensen [1 -1 1 -1 1 -1 1 -1] och vill veta dess Fourierserie.

Jag tycker det är intressant, och många som lär sig detaljerna med den diskreta Fouriertransformen har nytta av det. Tex programmerare.

Det är framför allt ordet "otillåtet" som jag har problem med, det exkluderar en massa synsätt som är användbara.

Jag vet inte hur mycket du har läst i tråden, men jag har känslan att du har läst rätt ordentligt, och kanske kan du förstå att jag i undersökandet av hur stor översläng det kan bli i en DAC utgår från en sinc som interpolatör och försöker hitta den digitala sekvens som ger störst utsignal. Tycker du inte att det är en rimlig utgångspunkt? Det visade sig att toppamplituden kan bli hur stor som helst i detta teoretiska fall. Shit happens. Dessbättre är det inte så med verkliga implementationer, men det blir olika med olika implementationer, så man kan inte säga hur mycket marginal som behövs. Det är väl också ett intressant resultat, kan jag tycka.

Hur skulle du undersöka vilken marginal som behövs i en översamplande DAC?

[Piotr]

PS. Det finns kul saker man kan göra dock, om man får spåna lite. En kul sak man kan göra, som
i hög grad förbättrar möjligheten att koda höga frekvenser som är statiska, är att addera ett tids-
brus på samplingsfrekvensen. Ett känt brus, t ex ett i förväg bestämt brusmönster. Egentligen är
det inte optimalt att kalla det ett brus kanske dock. Det kan ju vara något så enkelt som en fas-
togglande frekvens, men möjligheterna är legio.

Det är lite småspännade att räkna lite på vad som händer om man gör så, och sedan extraherar
så mycket info som finns ur det som man samplat sålunda...

Det du beskriver är väl i princip ett "equivalent time sampling oscilloscope"..?

/Peter

[idea]

Okej... Ny infallsvinkel, som jag hoppas jag skall nå fram med: Det är till ingen eller väldigt
måttlig nytta, att veta cosinusdelens amplitud allena.

Den kan vara noll trots att man har massor av signal, och även om man har en cosinusdel så
säger den inte något annat om signalen än att den är MINST så stor.

Därför är cosinusdelen av intet värde. Det är otillräcklig information om signalen för att sig-
nalen skall kunna beskrivas.

- - -

Så igen - BÅDE amplitud och fas för frekvensen Fh/2 är ovetbar. Och därför så får den inte
finnas med, alls. Detta alltså trots att man från sampeldata (ja, cosdelen) kan se hur stor in-
signalen var "minst".

- - -

Men det är inte möjligt att veta precis hur insignalen såg ut, och därför är det ju heller inte
möjligt att rekonstruera den från sampledata.

Gick det fram nu då?


Vh, iö

Ja, det gick fram den här gången och den förra. Jag förstår precis det du säger.

Och med all önskvärd tydlighet framgår det att du ENBART ser Fourierserierna som ett sätt att beskriva en samplad signal som har varit analog.

Det gör inte jag.

Kan du tänka dig att man vill beskriva en godtycklig sampelsekvens med N sampel med N Fourierkoefficienter? Utan cosinuskomponenten vid fs/2 GÅR inte det i det allmänna fallet. Du kan förstås bestäma att vissa sekvenser inte är tillåtna, men det finns ingen naturlag som säger att jag inte får göra sekvensen [1 -1 1 -1 1 -1 1 -1] och vill veta dess Fourierserie.

Jag tycker det är intressant, och många som lär sig detaljerna med den diskreta Fouriertransformen har nytta av det. Tex programmerare.

Det är framför allt ordet "otillåtet" som jag har problem med, det exkluderar en massa synsätt som är användbara.

Jag vet inte hur mycket du har läst i tråden, men jag har känslan att du har läst rätt ordentligt, och kanske kan du förstå att jag i undersökandet av hur stor översläng det kan bli i en DAC utgår från en sinc som interpolatör och försöker hitta den digitala sekvens som ger störst utsignal. Tycker du inte att det är en rimlig utgångspunkt? Det visade sig att toppamplituden kan bli hur stor som helst i detta teoretiska fall. Shit happens. Dessbättre är det inte så med verkliga implementationer, men det blir olika med olika implementationer, så man kan inte säga hur mycket marginal som behövs. Det är väl också ett intressant resultat, kan jag tycka.

Hur skulle du undersöka vilken marginal som behövs i en översamplande DAC?

Om vi säger "matematisk inkorrekt" istället för "otillåtet" så kanske du kan svälja det. Det du inte verkar förstå är att signalen inte innehåller någon information vid fs/2. Om du inte har fasinformationen så kan du ju sampla precis var som helst på sinusen och den amplitud du ser korrelerar inte med den "verkliga" på något sätt (inte ens om din skapade amplitud är noll). I ett amplituddiskret system så ger upplösningen den minsta möjliga inversa toppamplituden men i ett kontinuerligt system så finns ingen gräns vilket du redan bevisat men tydligen inte förstått varför.

[Svante]

Om vi säger "matematisk inkorrekt" istället för "otillåtet" så kanske du kan svälja det. Det du inte verkar förstå är att signalen inte innehåller någon information vid fs/2. Om du inte har fasinformationen så kan du ju sampla precis var som helst på sinusen och den amplitud du ser korrelerar inte med den "verkliga" på något sätt (inte ens om din skapade amplitud är noll). I ett amplituddiskret system så ger upplösningen den minsta möjliga inversa toppamplituden men i ett kontinuerligt system så finns ingen gräns vilket du redan bevisat men tydligen inte förstått varför.

Jag tror jag förstår precis vad som händer. Nä, det är inte matematiskt inkorrekt heller, och jag förstår precis att fasinformationen inte finns. Du däremot verkar förutsätta att det rör sig just om sampling av en analog signal. Det gör inte jag. Jag försöker beskriva en sekvens av sampel i den tidsdiskreta världen. Och för att beskriva en sådan signal, tex 8 sampel [1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 ] så behövs cosinustermen vid fs/2. Däremot blir sinustermen vid fs/2 meningslös eftersom den bara ger nollor. Om du inte håller med mig om det; hur skulle du beskriva sekvensen [1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 ] som en Fourierserie? Alla sekvenser kan ju beskrivas med en Fourierserie enligt Fourier.

Man kan välja att se komponenten vid godtycklig frekvens som en sinus med en amplitud och en fasförskjutning. Gör man det säger fouriertransformen ingenting (nästan) om vare sig amplitud eller fas vid fs/2.

Man kan också välja att se komponenten vid en godtycklig frekvens som en summa av en sinus och en cosinus, vardera med en amplitud. Gör man så säger foruiertransformen inget om sinusens amplitud, vid fs/2, men däremot får man veta cosinusens amplitud. Det är fö precis som vid DC. Vid DC får man veta cosinusens amplitud, sinusdelen däremot blir noll, och den ser man inget av i samplen.

Inalles ger det 8 tal (frihetsgrader) som beskriver en 8 sampel lång sekvens. Utan den 8:e (cosinustermen vid fs/2) går det inte att beskriva alla 8 sampel långa sekvenser med en Fourierserie. Man förlorar en frihetsgrad.

[idea]

Det var för länge sedan som jag handräknade fourierserier eller fouriertransformen för att jag riktigt skall kunna se var du går vilse. För vilse måste du vara, men jag kan inte genomskåda vad det är som fallerar. Vad jag definitivt vet är att varje fourierserie som innehåller fs/2 har oändligt många lösningar. Det enda man kan veta är vilka lösningar som inte finns med, dvs de med amplitud mindre än koefficienten vid fs/2 (du får fortfarande oändligt många lösningar eftersom detta inte påverkar oändligheten). Detta gäller oavsett åt vilket håll du transformerar.
Jag kan Matlab för dåligt för att kunna se vad den spottar ut men i alla implementationer av fouriertransformationer jag jobbat med så får du av 1024 tidssteg ut DC + 511 frekvenser dvs fs/2 ingår inte och denna serie (512 punkter med real och imaginärdel) kan inverstransformeras entydigt.
Det jag kan tänka mig är att du misstolkar den talserie du får ut från Matlab. Där ser du ju inte vad talen representerar bara en vektor med tal som du själv får tolka vad det står för.

[Svante]

Det var för länge sedan som jag handräknade fourierserier eller fouriertransformen för att jag riktigt skall kunna se var du går vilse. För vilse måste du vara, men jag kan inte genomskåda vad det är som fallerar. Vad jag definitivt vet är att varje fourierserie som innehåller fs/2 har oändligt många lösningar. Det enda man kan veta är vilka lösningar som inte finns med, dvs de med amplitud mindre än koefficienten vid fs/2 (du får fortfarande oändligt många lösningar eftersom detta inte påverkar oändligheten). Detta gäller oavsett åt vilket håll du transformerar.
Jag kan Matlab för dåligt för att kunna se vad den spottar ut men i alla implementationer av fouriertransformationer jag jobbat med så får du av 1024 tidssteg ut DC + 511 frekvenser dvs fs/2 ingår inte och denna serie (512 punkter med real och imaginärdel) kan inverstransformeras entydigt.
Det jag kan tänka mig är att du misstolkar den talserie du får ut från Matlab. Där ser du ju inte vad talen representerar bara en vektor med tal som du själv får tolka vad det står för.

Det finns ju en förklaring till, nämligen att du har gått vilse . Eller inte förstår skillnaden mellan det vi pratar om.

Det du berättar är den praktiska konsekvensen av att man inte vet sinuskomponenten vid fs/2 vid fourieranalys och att man därför inte kan sampla en analog signal som innehåller fs/2 med godtyckligt fasläge och återskapa den. Det är jag helt med på.

Men det är inte det jag beskriver, jag beskriver att man kan beskriva en godtyklig digital sekvens av sampel med lika många sinus- och cosinustermer som man har sampel. För att beskriva en 8 sampel lång sekvens behövs tre sinustermer, tre cosinustermer ytterligare en cosinusterm för frekvensen noll och en cosinusterm för fs/2.

Och alla sekvenser går inte att beskriva om man tvingar cosinustermen vid fs/2 till 0. Det är precis analogt med att man måste ha en cosinusterm vid f=0 (=en konstant) om signalen ska kunna innehålla DC. Men vi behöver inte veta sinuskomponenten vid DC, för den bli ju 0. Samma sak är det med sinuskomponenten vid fs/2.

Vi pratar om två aningen olika saker.

[Svante]

Jag kan Matlab för dåligt för att kunna se vad den spottar ut men i alla implementationer av fouriertransformationer jag jobbat med så får du av 1024 tidssteg ut DC + 511 frekvenser dvs fs/2 ingår inte och denna serie (512 punkter med real och imaginärdel) kan inverstransformeras entydigt.
Det jag kan tänka mig är att du misstolkar den talserie du får ut från Matlab. Där ser du ju inte vad talen representerar bara en vektor med tal som du själv får tolka vad det står för.

Nja, det inte bara Matlab, jag tog den för att jag trodde att den var mest allmänt känd. Jag brukar annars använda de FFT-rutiner som jag har skrivit själv.

Du inser att DC + 511 komplexa tal bara representerar 1023 olika tal/frihetsgrader? Den 1024 som du behöver finns i cosinustermen för fs/2.

En FFT tar ju egentligen komplexa tal in. Om vi stannar vid en 1024-punkters FFT så matar man alltså in 1024 komplexa tal. Ur det kommer 1024 komplexa tal. Och det är alltså INTE så enkelt som att de 512 första av dessa (0..511) är de intressanta om man matar FFTn med reella tal. Det första utvärdet är reellt om indata är reellt och representerar DC. Sinusdelen är noll. På samma sätt finns cosinusdelen för fs/2 i realdelen i det 513:e elementet, eller nummer 512 om man börjar räkna från 0. I imaginärdelen till element nummer 0 och 512 ligger motsvarande delar för imaginärdelen av indatat. Övriga delar får man extrahera genom att spektrum är jämnt respektive udda för real- och imaginärdelarna av insignalen.

Jag kan förstå att man utelämnar det 513:e elementet om man sysslar med AD-omvandling, jag gör det själv ofta, man är ju inte intresserad av exakt matematisk inverterbarhet. fs/2 ska ju vara såpass tilltagen att det inte finns någon info av vikt (höhö) där.

[idea]

DC+511 * 2 =1024, lägger vi till cosinustermen vid fs/2 blir det 1025. DC har formellt både real och imaginärdel men im är alltid identiskt noll.
Funktionen är periodisk och upprepar sig i all oändlighet men det är ju bara upprepningar, all information finns i den första delen. Det är ju hela definitionen av fourierserier att det är periodiska funktioner.
Så långt jag kan förstå så måste det du diskuterar inte vara en fourierserie utan någon annan serieutveckling och då faller ju i så fall alla mina invändningar eftersom de bara gäller fourierserier...

[Svante]

DC+511 * 2 =1024, lägger vi till cosinustermen vid fs/2 blir det 1025. DC har formellt både real och imaginärdel men im är alltid identiskt noll.
Funktionen är periodisk och upprepar sig i all oändlighet men det är ju bara upprepningar, all information finns i den första delen. Det är ju hela definitionen av fourierserier att det är periodiska funktioner.
Så långt jag kan förstå så måste det du diskuterar inte vara en fourierserie utan någon annan serieutveckling och då faller ju i så fall alla mina invändningar eftersom de bara gäller fourierserier...

På vilket sätt representerar ett tal som alltid är noll en frihetsgrad? Alltså den nollade imaginärdelen vid DC. Och jo, det är en Fourierserie.

Alltså, jag har varit igenom detta och hade då lika svårt som du att ta steget från de översiktliga beskrivningarna till vad fouriertransformen gör till detaljmeket som man måste göra om man ska skriva FFT-rutinerna själv.

Jag tror inte att jag kan skriva något som jag inte redan har skrivit nu, och jag tror att jag begriper fullständigt hur det är och vad din syn är så det är inte mycket vits att skriva samma sak igen. Jag tror inte att jag når fram till dig bättre utan att du sätter dig ner och leker med Fourierserierna i detalj med något lämpligt program eller papper och penna. Jag skulle leka i Matlab, men det finns ju andra som är bra också.

Kom gärna igen om du kommer på någon annan infallsvinkel eller undrar något. Jag är ju ändå lärare .

[DanNorman]

!

[sebatlh]

Sidnot: Matlab är dyrt. För de utan licens finns python/scipy. Har aldrig använt just dessa fft rutiner men scipy brukar vara bra skit som man säger
http://docs.scipy.org/doc/numpy/referen ... .fft.html#

Intressant topic för övrigt. Självklart på sätt och vis såhär i efterhand men knappast något jag ens reflekterat över tidigare.

[Svante]

Sidnot: Matlab är dyrt. För de utan licens finns python/scipy. Har aldrig använt just dessa fft rutiner men scipy brukar vara bra skit som man säger
http://docs.scipy.org/doc/numpy/referen ... .fft.html#

Intressant topic för övrigt. Självklart på sätt och vis såhär i efterhand men knappast något jag ens reflekterat över tidigare.

Ja, och där står det jag har försökt få fram, kanske dokumentationen till ett programbibliotek kan övertyga mer än jag kan.

For an even number of input points, A[n/2] represents both positive and negative Nyquist frequency, and is also purely real for real input

[lilltroll]

Det var för länge sedan som jag handräknade fourierserier eller fouriertransformen för att jag riktigt skall kunna se var du går vilse. För vilse måste du vara, men jag kan inte genomskåda vad det är som fallerar. Vad jag definitivt vet är att varje fourierserie som innehåller fs/2 har oändligt många lösningar. Det enda man kan veta är vilka lösningar som inte finns med, dvs de med amplitud mindre än koefficienten vid fs/2 (du får fortfarande oändligt många lösningar eftersom detta inte påverkar oändligheten). Detta gäller oavsett åt vilket håll du transformerar.
Jag kan Matlab för dåligt för att kunna se vad den spottar ut men i alla implementationer av fouriertransformationer jag jobbat med så får du av 1024 tidssteg ut DC + 511 frekvenser dvs fs/2 ingår inte och denna serie (512 punkter med real och imaginärdel) kan inverstransformeras entydigt.
Det jag kan tänka mig är att du misstolkar den talserie du får ut från Matlab. Där ser du ju inte vad talen representerar bara en vektor med tal som du själv får tolka vad det står för.

Har inte tanken slagit dig än att Svante har rätt och att du i alla implementationer som du jobbat med i så fall har räknat fel

I så fall hoppas jag den tanken föds nu.


Table 2.1 sid 26 visar en numerisk 12 punkters DFT.
http://books.google.se/books?id=V8Z0PXZ ... &q&f=false

I figure 2.6 så kan man se k=6

Sedan kan man läsa på sida 26

k=6 : v6=cos(pi*n) = (-1)^n

Antingen så Har du rätt, och då har boken fel.
Eller Så har Boken rätt där cos(pi*n) finns med i den diskreta tidsdomänen och även har en motsvarande mod: k=6 i den diskreta frekvensdomänen, och då har du fel.

så får du av 1024 tidssteg ut DC + 511 frekvenser dvs fs/2 ingår inte och denna serie

Hela boken heter The DFT: An Owners' Manual for the Discrete Fourier så det är inga suspekta serier som Svante hittat på.

PS.
Table 3.1 sid 69 visar en uppsjö av olika former av DFT.
Sida 70-71 visar vilka definitioner olika program eller FFT-paket använder.

Dessutom tror jag att Svante i denna bok kan hitta referenser till de påståenden han kommit med ovan som styrker eller bevisar det Svante skrivit angående DFT:n, men jag tycker inte han ska ta sig tiden till att göra det.
DS.

[hcl]

Intressant analys.

Jag kan vidimera att detta kan vara ett problem även "i verkligheten". De första mjukvaruversionerna till Linn:s nätverksspelare hade inte tillräckligt head-room för kraftigt överstyrda signaler. Detta löstes med senare mjukvarureleaser (fr.o.m. mjukvaruversion CARA, om jag kommer ihåg rätt).

[Ragnwald]

Intressant.