Gibbs fenomen

[DQ-20]

(=att gå i limes)

Påminner lite om uttrycket "att gå i barndom"...

/DQ-20

[DQ-20]

Kolla vad jag hittade från 2006! Inget nytt under solen...

Antag att man har en fullt utstyrd fyrkantvåg. Antag vidare att man har en översamplande D/A-omvandlare. Det betyder att man måste ta hand om Gibbs fenomen, dvs att det blir en översläng efter språnget på fyrkantvågen. Det betyder i sin tur att D/A-omvandlaren antingen måste ha en överstyrningsmarginal, annars kommer den att klippa.

Utan att ha några som helst belägg för det så gissar jag att det senare förekommer.

Hursomhelst, Gibbs fenomen ger en översläng på, var det 18%? det motsvarar 20*log(1,18 )=1.4 dB. Om man har den överstyrningsmarginalen i den översamplande D/An så kan jag tycka att det vore motiverat att ha toppvärdesindikering på upp till + 2 dB.

...fast jag tror ju inte att det är det som är det äkta motivet till att det ser ut så i det här konkreta fallet.

1. Seriösa tillverkare av de översamplande filtren tar i regel tillräcklig höjd för att vågningen skall "få plats" i DAC:en. Klippnade DAC:ar är därför rätt sällsynt.

2. Gibbs fenomen är en lustighet som egentligen inte är helt applicerbar i detta fall (om man skall vara akademiskt korrekt). Det gäller bara i limesfallet med oändligt många övertoner som försöker bygga upp ett perfekt kantsvar. Då återstår en översläng om sisådär 8,95% (av hela steget), som dock har arean noll. I fallet CD-systemet blir det Gibbs fenomen som bestämmer "hornens" storlek, bara på enstaka språng i DC-nivå. Inte på fyrkantvågor, som faktiskt får överslängar med andra storlekar (ehuru nära).
(Vill man få en med avseende på överslängen bättre rekonstruktion så låter man helt enkelt övertonerna falla med något ökad hastighet* över en valfri frekvens.)

3. Överslängen som uppstår på en (digitial) fyrkantvåg som CD-systemet skall hantera, men hjälp av harmonisk interpolering (sinx/x), i ett översamplande system, är faktiskt beroede av kantvågens grundton. Det räcker inte att ta höjd för Gibbs fenomen.


Vh, iö

- - - - -

*Över valfri frekvens låta dem ha en amplitud lägre än 1/n.

Exempelvis kanske 1/(n + a), där a är n-nx, nx är övertonen vid den valfria frekvensen och där a bara räknas när det är ett positivt tal? (Jag har inte provat men gissar att det eliminerar överslängen väldigt bra.)

[Svante]

Inom matematiken finns det även en populär uppfattning att man inte ens
får/kan tänka i dessa banor. Men det skall man inte bry sig så mycket om.

För räknar man just lite limes på't, så är det inte svårt att finna tänkbara
exempel på att en oändlighet delat med en annan är 1, eller kanske 42.

Ja, 42.

Nu blev jag lost igen. (Fast jag vet å andra sidan inte ens vad limes är.) Att en oändlighet delat med en annan oändlighet blir 1 stämmer med mitt sätt att tänka. Men kan en oändlighet vara något annat än en oändlighet (dvs få kvoten 42)? Hmmm. En konsekvens av detta måste ju bli att det i så fall finns ett oändligt antal oändligheter. Men hur kan det gå till? Om en oändlighet skiljer sig från en annan, kan denna skillnad kvantifieras i så fall? Nu blev det litet lurigt tycker jag.

Hälsn. Michael

(Det brinner inte - det är bara min hjärna som ryker litet.)

Vi kan ta den separat då:

Vad är 1/0? Vad är 42/0?

Ja, alltså, båda är odefinierade.

Men både

1/x

och

42/x

går mot oändligheten när x går mot noll.

Det är då frestande att säga att både 1/0 och 42/0 är oändligheten, dvs samma tal. Men oändligheten är inte ett tal.

Det ser man lättast om man tar och delar de där två oändligheterna med varanda:

(42/x) / (1/x) = 42/x * x/1 = (42*x) / (42*1) = 42

Och 42 går ju mot 42 oavsett vad x är (x finns ju inte ens kvar i uttrycket). Den ena oändligheten är alltså 42 gånger större än den andra.

Oändligheten är inte ett tal.

Observera att det sista, att förkorta med x bara är tillåtet om x inte är noll. Men om vi har gränsvärdestänket så går det ju bra.

Gränsvärdet för "den ena oändligheten genom den andra" blir alltså 42.

[Svante]

Kolla vad jag hittade från 2006! Inget nytt under solen...

Haha det där hade jag inget minne av alls. Antagligen för att något definitivt maxvärde på hur mycket höjd man måste ta inte kom fram då heller.

Märkligt hur mitt minne funkar.

[MichaelG]

lim(x->0) 1/x = inf

Jag tror jag förstår resonemanget. Men då måste jag gå med på att man inte kan dividera med noll. (Min gamle mattemagister insisterade på att jag borde gå med på detta, om jag inte ville bli VÄLDIGT ensam.)

En fråga bara om ovanstående: Det måste väl betyda att lim(x->0) 1/x går mot oändligheten och inte att det är lika med oändligheten? ("=" tecknet ställer till det för mig.)

Hälsn. Michael

[MichaelG]

Det är då frestande att säga att både 1/0 och 42/0 är oändligheten, dvs samma tal. Men oändligheten är inte ett tal.

Jag är med på att oändligheten inte är ett tal, men varför kan man inte ändå säga att x/0 = oändligheten? Eller skulle man kunna det om man inte kommit överens om att man inte får? Eller skulle det ställa till det för massa andra matematiska beräkningar om man tillät x/0?

När jag funderar litet på vad du skrivit (och som jag tror jag förstår) så tänker jag så här: En oändlighet kan inte vara exvis 42 gånger större än en annan oändlighet. Det finns alltså inte en massa (oändligt många) oändligheter. Det finns bara EN oändlighet och vi vet inte så mycket om den mer än att den är så oändligt mycket större än allt det vi kan tänkas komma på att fylla den med. Typ.

Hälsn. Michael

[Nattlorden]

Ja, du måste skilja på gränsvärde och likhet. Likheten gäller bara vad gränsvärdet är.

[Nattlorden]

Jag är med på att oändligheten inte är ett tal, men varför kan man inte ändå säga att x/0 = oändligheten? Eller skulle man kunna det om man inte kommit överens om att man inte får? Eller skulle det ställa till det för massa andra matematiska beräkningar om man tillät x/0?

Vad blir det om x=0? Vad blir det om x<0?

[petersteindl]

Jag är med på att oändligheten inte är ett tal, men varför kan man inte ändå säga att x/0 = oändligheten? Eller skulle man kunna det om man inte kommit överens om att man inte får? Eller skulle det ställa till det för massa andra matematiska beräkningar om man tillät x/0?

Vad blir det om x=0? Vad blir det om x<0?

Även om x 0 så är alltid x/x = 1 om jag minns rätt men x 0, x/0 är inte definierbart och inte heller 0/0.

Mvh
Peter

[MichaelG]

Vad blir det om x=0? Vad blir det om x<0?

Om x<0 blir det i så fall en negativ oändlighet. Och det är ju inte särskilt positivt. Men är det ett problem?

x=0 blir ju så klart 0. Och det ställer ju till det litet i så fall.

x/0 kan inte vara oändligheten, eftersom det inte stämmer för åtminstone 0/0 som ju inte är någonting alls i så fall.

Hälsn. Michael

[DQ-20]

Jag är med på att oändligheten inte är ett tal, men varför kan man inte ändå säga att x/0 = oändligheten? Eller skulle man kunna det om man inte kommit överens om att man inte får? Eller skulle det ställa till det för massa andra matematiska beräkningar om man tillät x/0?

A. Därför! B. Nja, men då ballar det ur. C. Ja. Man måste komma ihåg att matematiken är en artefakt - ett av människan konstruerat formellt system. Frågan om att man "inte får dela med 0" kan alltså inte tas i isolat utan måste relateras till hela det formella system som vi kalla "matematik".

/DQ-20

[PappaBas]

Finns olika sorters oändlighet. Kolla inom den matematiska topologin. Där finns generalisering av kontinuerliga funktioner och teori om precis det som diskuteras här.

[petersteindl]

Finns olika sorters oändlighet. Kolla inom den matematiska topologin. Där finns generalisering av kontinuerliga funktioner och teori om precis det som diskuteras här.

Finns det olika sorters oändligheter? Hmm, kan man sortera dom? Det verkar som om det tar oändlig tid att få MoLT för vissa.

[Ezra]

Satsen som Svante hänvisar till är väl en av typen i stil med (det finns starkare varianter)

Suppose that f has period 2π, and suppose that t0 is a point
where f has one-sided limiting values and (generalized) one-sided derivatives.
Then the Fourier series of f converges for t = t0 to the mean value
1/2(f(t0+) + f(t0−)). In particular, if f is continuous at t0, the sum of the
series equals f(t0),

stegfunktionen i fråga uppfyller villkåren i satsen, och således konvergerar fourierserien mot funktionen så som anges. Men det är alltså fråga om PUNKTVIS konvergens för fourierserien. Att det overshoot på ungefär 9% som är Gibb's fenomen inte behöver att försvinna - i bemärkelsen lim(overshoot)=9%, och inte lim(overshoot)=0 - är inte konstigt, då det alltså inte är likformig konvergens som satsen hävdar (fourierserien konvergerar inte i supremum-normen).

Likformig konvergens kan det självklart inte röra sig om, då partialsummorna till fourierserien i såfall vore en följd av kontinuerliga funktioner som konvergerade likformigt mot en icke-kontinuerlig funktion (stegfunktionen i fråga) - motsägelse.

Ett annat exemepel på en föjld av funktioner med ett overshoot som ändå konvergerar mot sin gränsfunktion punktvis är exempelvis f_n(x)=(sinx)^n, på intervallet [0,pi]. f_n går punktvis mot funktionen f som är 0 överallt förutom i pi/2 där den antar värdet 1. Supremum (över x i [0,pi]) för skillnaded f_n(x)-f(x) är 1 för varje n, så gränsvärdet för skillnaden är 1, ty lim {1}=1. Men som sagt punktvis lim f_n(x)=f(x) för varje x.

Här börjar jag ana en öppning.

Jag skulle kunna googla, men tycker att det är intressantare att diskutera. Vad betyder "punktvis konvergens", "likformig konvergens" och "supremumnormen"?

Jag gissar att jag hela tiden har pratat om punktformig konvergens mellan serien och fyrkantvågen. Jag har också hela tiden hävdat att gränsvärdet för toppens höjd är +9%. Har det något med supremumnorm att göra? Och vad är likformig konvergens?

Säg att du har en följd av funktioner f_n(x). Definera då funktionen f genom att sätta f(x)=lim (n-> infty) f_n(x). Dvs i varje punkt x0 sätter du värdet av f till lim f_n(x0). Du definierar en ny funktion, punktvis.

Följden jag nämde tidigare, dvs f_n(x)=(sinx)^n, har då den punktvisa gränsfunktionen 0 förutom i pi/2 där gränsvärdet är 1.

Likformig konvergens för en följd av funktioner f_n mot f,har du om du till varje e>0 kan välja ett N så att för alla n>N gäller att |f_n(x)-f(x)|<e, FÖR ALLA x i definitionsmängden.

Detta går inte i i exemplet f_n=sin^n. (Välj ett 1/2>e>0, ta ett godtyckligt stort N, du kan hitta x0 nära pi/2 så att (sinx0)N=1/2, och alltså går det inte att tvinga f_n nära f för samtliga x samtidigt. Den konvergerar punktvis, men konvergensen är godtyckligt långsam nära pi/2, så att säga.

Om du däremot har en likformig konvergens av en följd av kontinuerliga funktioner så kommer gränsfunktionen at vara kontinuerlig.

Supremumnormen på ett funktionsrum (alltså ett vektorrum av funktioner) är helt enkelt bara ||f||=sup|f(x)|, där supremum tas över alla x. Om funktionsrummet är ett slutet intervall, eg. [0,1] og funktionerna är kontinuerliga (så att dom allihopa antar ett maxvärde på intervallet) så sammanfaller normen med ||f||=max|f(x)|, där alltså ||.|| betyder norm av f, och |f(x)| är absolutbeloppet.

Normen ger ju en storlek på vektorer i vektorrumet (funktioner i det här fallet), och inducerar en metrisk struktur på vektorrumet genom att sätta d(f,g) =||f-g||. Således är avståndet mellan två funktioner i supremumnormen just sup|f(x)-g(x)|, eller max|f(x)-g(x)| i exemplet ovan, där sup (max) tas över alla x i definitionsmängden. Således är likformig konvergens det samma som konvergens i supremumnorm.

Satsen som jag refererade till ovan (som är tagen ur Anders Vretblads bok i fourier analys, Springer) säger alltså att om du definerar en funktion g(x) genom att låta den vara gränsvärdet av fourierserien för f i punkten x, för varje x, så får du g(t0)=1/2(f(t0+) + f(t0-)), dvs medelvärdet av höger-vänstergränsvärden för funktionen f i alla punkter (om f nu uppfyller villkåren i satsen).

Således blir g(t) för f=fyrkantsvåg (icke-kontinuerlig, om ni inte använder någon annan definition av fyrkantsvåg än den som finns på wiki) just det du skrev tidigare.

Det finns även andra vanliga normer på funktionsvektorrum. Exempelvis L^p normerna, p godtyckligt tal mellan 1 och oändligheten (oändligheten ger supremumnormen, eller snarare, den "essensiella supremumnorm" (nevermind, dom är samma för snälla funktioner) där ||f||_p :=(int _X |f|^p)^(1/p). Alltså med ord är normen av f integralen av absolutbeloppet av |f|^p över hela basrummet där funktionerna är definierade (exempelvis reella talen, eller något intervall, eller ett godtyckligt måttrum) och sedan tar man p-roten av integralen (talet som fås). En norm får ju endast anta reella värden, så funktionerna i funktionsrummet måste då vara p-integrerbara om man ska kunna införa en sådan norm.

För 2pi periodiska (ja, perioden kan ju väljas annorlunda än det också) så integrerar man då över [0,2pi] i normen. Men här måste det påpekas att normen inte är väldefinerat på rummet av funktionerna (ty i definitionen av en norm ingår att ||f||=0 om och endast om f=0 (som ju är nollelementet i vektorrummet (som består av funktioner, men man kan ju addera funktioner och multiplicera funktioner med konstanter, och fortfarande få funktioner (som dessutom är integrerbara) så det är verkligen ett vektorrum, och 0 elementet är just den konstanta funktionen 0), och således om två funktioner f,g endast är olika utanför en nollmäng (mängd med mått (eller förenklat längd 0)) eg. dom rationella talen i [0,2pi], så kommer integralen av diffensen |f-g|^p att vara 0, dvs ||f-g| |=0, vilket måste innebära att f-g=0 (som ju var 0 elementet). Det är problematisk, så för att man ska kunna definera en norm på sånna L^p rum är man faktisk tvungen att bilda ekvivalensklasser av funktioner (två funktioner identificeras till samma ekvivalensklass (nytt element i ett nytt kvotvektorrum) om och endast om dom är identiska utanför en nollmängd (mängd med mått, eller förenklat längd, 0, eg punkter, eller flera punkter, eller oändligt många punkter, så som rationella talen - men INTE intervall dom har en längd, nämligen längden på intervallet)).

Man måste definera en norm så ||f||=0 om f=0, för att man ska få en vettig metrisk struktur på rummet, som i sin tur gör det möjligt att prata om konvergens (man behöver förvisso inte en metrisk struktur för detta, utan endast en topologisk struktur (dessa induceras såklart av den metriska strukturen)).

Iallafall, detta börjar bli lite långt nu, så förhåller det sig så att om en funktion f tillhör L^ p[0, 2pi], för 1<p<oändligheten, så konvergerar fourierserien för f mot (f) (ekvivalensklassen av f) i tillhörande L ^p norm. Trevligt. Dvs fourierserien (hela den oändliga summan) kommer enbart att skilja sig från funktionen f utanför en nollmängd på intervallet.

Så mycket av diskutionen beror på vilken sorts konvergens man talar om. Punktvis får vi exakt den funktionen som Svante har omtalat tidigare. Supremum-konvergens finns inte (partialsummorna till fourierserien konvergerar inte) och i L^ p norm (area norm kan man väl också kalla den, och självklart är squarewave funktionen p integrerbar, i synnerhet |f|² är integrerbar

[Ezra]

(fortsatt ifrån ovan, av något skäl kunde jag inte posta sista stycket???) ( L2 är det enda rummet som är ett Hilbert rum, dvs där normen kommer i från en inre produkt - en grej liknande dot product för vanliga ändligtdimensionella euklidiska och komplexa vektorum) så konvergerar fourierserien mot (f), eller mot valfri representant för den klassen, exempelvis f själv, men även mot funktionen g som jag definerar som f i alla x, förutom i 0 där jag definerar g = 2. Så ja nu fanns det en overshoot på 2. Skumt detta med konvergens.

En liten fråga och kommentar kommentar om kontinuerliga funktioner med icke-kontinuerlig derivata: triangel-funktionen som ni pratar om, är den spetsig lik f(x) =| x | nånstans? För i såfall är den ju inte ens deriverbar över allt, ett lite tråkigt exempel kan jag tycka, men visst, det illustrerar väl det som ska illustreras. kanske.

[petersteindl]

Får det lov att vara lite mer Supremumnorm? För den som vill förkovra sig

[Nattlorden]

Får det lov att vara lite mer Supremumnorm? För den som vill förkovra sig

Spännande. Det där kan jag inte minnas att vi ens snuddade vid, det hade man nog fått gå F för att komma till...

[Richard]

Ok, det gör inte jag. Det är det som gör diskussioner spännande. Jag kan TRO att jag vet mer, men jag förutsätter det inte. Ibland tar tron överhanden det ska erkännas, men med rätt bevis ger jag mig. Inte med rätt auktoritet, men med rätt bevis.

Namedropping som "xxx sa att" har därför väldigt liten effekt på mig.

Den inställningen sympatiserar jag med.

+1.

Även om den matematiska diskussionen håller en hög nivå, så har den dessutom ingenting att göra med musikupplevelser att göra.

Här behövs ingen somhelst matematisk utbildning för att kunna lyssna och njuta av musik.

Låter det bra, är det ju bra.

[petersteindl]

Ok, det gör inte jag. Det är det som gör diskussioner spännande. Jag kan TRO att jag vet mer, men jag förutsätter det inte. Ibland tar tron överhanden det ska erkännas, men med rätt bevis ger jag mig. Inte med rätt auktoritet, men med rätt bevis.

Namedropping som "xxx sa att" har därför väldigt liten effekt på mig.

Den inställningen sympatiserar jag med.

+1.

Även om den matematiska diskussionen håller en hög nivå, så har den dessutom ingenting att göra med musikupplevelser att göra.

Här behövs ingen somhelst matematisk utbildning för att kunna lyssna och njuta av musik.

Låter det bra, är det ju bra.

Jo Richard, det behövs en gedigen utbildning i matematik, fysik och elektronik mm. för att det skall kunna lyssnas och njutas av musik. Du behöver inte ha den för att lyssna. Men andra måste ha den för att du skall kunna lyssna! Var glad för dessa.

Någon måste ju bygga prylarna som du använder för att kunna lyssna på musik med. Lyssnar du på digital media så krävs en hel del förkunskaper för att sätta standarder, bygga interface, D/A-omvandlare osv. Det räcker inte med att sitta i fåtöljen och lyssna på musik. Att skapa förutsättningarna till din musiklyssning kräver mången civilingenjör. Var glad att dessa finns och har gedigen kunskap och intresse.

Förresten, vars har glädjen tagit vägen på forumet? den där glimten i ögat, den blir mer och mer sällsynt. Svante verkar dock ha glimten kvar och det glimtar till även bland limes och matematiska funktioner

Mvh
Peter

[KarlXII]

Glädje? Glimt? När det gäller matematik?
You gotta be kidding.


+1 på det övriga.

[Svante]

lim(x->0) 1/x = inf

Jag tror jag förstår resonemanget. Men då måste jag gå med på att man inte kan dividera med noll. (Min gamle mattemagister insisterade på att jag borde gå med på detta, om jag inte ville bli VÄLDIGT ensam.)

En fråga bara om ovanstående: Det måste väl betyda att lim(x->0) 1/x går mot oändligheten och inte att det är lika med oändligheten? ("=" tecknet ställer till det för mig.)

Hälsn. Michael

Ja, just det. Eller. Hmm.

Alltså om vi lämnar gränsvärden som går mot oändligheten ett tag.

Ta uttrycket

(1+x)/(2+x)

När x är mycket stort dominerar x:en över både ettan och tvåan och uttrycket är nästan 1 (1000001/1000002~1)

Då säger man att uttrycket går mot 1 då x går mot oändligheten. Matematiskt uttrycket man det som

lim(x->inf) (1+x)/(2+x) = 1

Lika med, alltså. Gränsvärdet är 1.

På samma sätt är

lim(x->0) (1+x)/(2+x) = 1/2

...fast det är okomplicerat, där kan man ju bara sätta in x=0.

Men just när ett gränsvärde går mot oändligheten så vete 17 om man säger att det ÄR oändligheten. Oändligheten är ju inte ett talm, ett värde, så då kan de väl inte vara ett gränsvärde, och då måste det väl "gå mot"...

Jag är osäker faktiskt.

Annars så är det ju så (apropå division men noll) att division faktiskt kan tolkas som två olika saker.

Ta 6/2 till exempel. Det kan tolkas antingen som

1. Hur många blir det i varje del om man delar 6 i 2 delar. Jo 3 stycken.
2. Hur många gånger går 2 i 6. Jo 3 gånger.

Man kan tycka att skillnaden är liten, men när man delar med 0 så händer två förståelsemässigt olika saker. Ta 6/0 som exempel.

1. Hur många blir det i varje del om man delar 6 i 0 delar. Vad då 0 delar?
2. Hur många gånger går 0 i 6. Hur många gånger som helst...

Där blir division orimligt i första fallen, men det andra fallet dyker oändligheten upp.

Man kan också se x=a/b som lösningen till ekvationen x*b=a

Om tex b=2 och a=6 så ser man ju att x måste vara 3
Men om b=0 och a=6 så går det inte att hitta något x som uppfyller ekvationen.
Och om b=0 och a=0 så kan x vara vad som helst. Det skulle betyda att 0/0 kan vara vad som helst.

Tänk att vanlig division kan bli så krångligt.

[Svante]

Jag är med på att oändligheten inte är ett tal, men varför kan man inte ändå säga att x/0 = oändligheten? Eller skulle man kunna det om man inte kommit överens om att man inte får? Eller skulle det ställa till det för massa andra matematiska beräkningar om man tillät x/0?

Vad blir det om x=0? Vad blir det om x<0?

Även om x 0 så är alltid x/x = 1 om jag minns rätt men x 0, x/0 är inte definierbart och inte heller 0/0.

Mvh
Peter

Ser du motsägelsen...?

[petersteindl]

Jag är med på att oändligheten inte är ett tal, men varför kan man inte ändå säga att x/0 = oändligheten? Eller skulle man kunna det om man inte kommit överens om att man inte får? Eller skulle det ställa till det för massa andra matematiska beräkningar om man tillät x/0?

Vad blir det om x=0? Vad blir det om x<0?

Även om x 0 så är alltid x/x = 1 om jag minns rätt men x 0, x/0 är inte definierbart och inte heller 0/0.

Mvh
Peter

Ser du motsägelsen...?

Ok, rå

x 0 så är alltid x/x = 1 utom för x=0. Är det bättre så? Jag tänkte att det skulle förstås av texten därefter ..... Fast, det borde stått likamedtecken istället för den andra pilen.

Mvh
Peter

[Svante]

Det räcker inte med att sitta i fåtöljen och lyssna på musik. Att skapa förutsättningarna till din musiklyssning kräver mången civilingenjör. Var glad att dessa finns och har gedigen kunskap och intresse.

Jag tror att musiken fanns före civilingenjören.

[petersteindl]

Det räcker inte med att sitta i fåtöljen och lyssna på musik. Att skapa förutsättningarna till din musiklyssning kräver mången civilingenjör. Var glad att dessa finns och har gedigen kunskap och intresse.

Jag tror att musiken fanns före civilingenjören.

Absolut, men det gäller musik på burk som Richard njuter av i hemmiljö. Någon måste skapa förutsättningarna.

Mvh
Peter

[Svante]

(fortsatt ifrån ovan, av något skäl kunde jag inte posta sista stycket???) ( L2 är det enda rummet som är ett Hilbert rum, dvs där normen kommer i från en inre produkt - en grej liknande dot product för vanliga ändligtdimensionella euklidiska och komplexa vektorum) så konvergerar fourierserien mot (f), eller mot valfri representant för den klassen, exempelvis f själv, men även mot funktionen g som jag definerar som f i alla x, förutom i 0 där jag definerar g = 2. Så ja nu fanns det en overshoot på 2. Skumt detta med konvergens.

En liten fråga och kommentar kommentar om kontinuerliga funktioner med icke-kontinuerlig derivata: triangel-funktionen som ni pratar om, är den spetsig lik f(x) =| x | nånstans? För i såfall är den ju inte ens deriverbar över allt, ett lite tråkigt exempel kan jag tycka, men visst, det illustrerar väl det som ska illustreras. kanske.

Jajeflar, här fick man veta att man lever. Jag tror att du just har bevisat att DQ har fel. Är man bara tillräckligt trägen får man svar på ALLT på Faktiskt. Tack!

Sen om jag förstå svaret är en annan fråga. Jag tror att det var någonstans här som jag slutade begripa matten i min utbildning och jag får kämpa mycket och läsa många gånger för att nästan förstå det du skriver.

Man skulle kunna definiera en triangelvåg som

f(x)=|x|-1/2 [-1;1[
f(x+2)=f(x)

... så den är inte deriverbar i x=n, nej och det var just det som var poängen. Derivatan blir i övrigt en fyrkantvåg, men värdet i språnget blir odefinierat.

[DQ-20]

Jag tror att du just har bevisat att DQ har fel.

Du måste ha förväxlat mig med någon annan.

/IQ-20

[Ezra]

(fortsatt ifrån ovan, av något skäl kunde jag inte posta sista stycket???) ( L2 är det enda rummet som är ett Hilbert rum, dvs där normen kommer i från en inre produkt - en grej liknande dot product för vanliga ändligtdimensionella euklidiska och komplexa vektorum) så konvergerar fourierserien mot (f), eller mot valfri representant för den klassen, exempelvis f själv, men även mot funktionen g som jag definerar som f i alla x, förutom i 0 där jag definerar g = 2. Så ja nu fanns det en overshoot på 2. Skumt detta med konvergens.

En liten fråga och kommentar kommentar om kontinuerliga funktioner med icke-kontinuerlig derivata: triangel-funktionen som ni pratar om, är den spetsig lik f(x) =| x | nånstans? För i såfall är den ju inte ens deriverbar över allt, ett lite tråkigt exempel kan jag tycka, men visst, det illustrerar väl det som ska illustreras. kanske.

Jajeflar, här fick man veta att man lever. Jag tror att du just har bevisat att DQ har fel. Är man bara tillräckligt trägen får man svar på ALLT på Faktiskt. Tack!

Sen om jag förstå svaret är en annan fråga. Jag tror att det var någonstans här som jag slutade begripa matten i min utbildning och jag får kämpa mycket och läsa många gånger för att nästan förstå det du skriver.

Man skulle kunna definiera en triangelvåg som

f(x)=|x|-1/2 [-1;1[
f(x+2)=f(x)

... så den är inte deriverbar i x=n, nej och det var just det som var poängen. Derivatan blir i övrigt en fyrkantvåg, men värdet i språnget blir odefinierat.

Ok, jag förstår. Tycker väl då att ett bättre exempel på en "kontinuerlig funktion med icke kontinuerlig derivata" är standardexemplet

f(x) = (x^2)(sin(1/x)) , då x ej = 0, f(0)=0.

Den är kontinuerlig, och har derivata (ja, kontinuitet följer ju av differentiabilitet)

f'(x)= 2xsin(1/x) - cos(1/x), då x ej = 0, f'(0)=0.

f'(x) är ej kontinuerlig. Trevligt. Man kan kalla det för en fråga om definitioner, men jag skulle nog hävda att triangelvågen inte är deriverbar, eftersom den inte är det överallt, men strunt samma - exemplet ovan är bättre! (om inte lika uppenbart )

Jag är ledsen att det jag skrev i inlägget ovan inte är lite mycket att smälta. Det är som så mycket matte inte så svårt egentligen, men kräver som vanligt en del förkunskaper och vana. Förståelsen är således snarare en tid och prioriteringsfråga - man kan ju välja att göra andra saker med sitt liv också... har jag hört

[DQ-20]

Jag tror Ezra börjat hårdjobba på sin roll som matematikens Isidor!

/DQ-20

[petersteindl]

Jag tror Ezra börjat hårdjobba på sin roll som matematikens Isidor!

/DQ-20

+1, jag tänkte samma tanke