Svante skrev:Ezra skrev:Satsen som Svante hänvisar till är väl en av typen i stil med (det finns starkare varianter)
Suppose that f has period 2π, and suppose that t0 is a point
where f has one-sided limiting values and (generalized) one-sided derivatives.
Then the Fourier series of f converges for t = t0 to the mean value
1/2(f(t0+) + f(t0−)). In particular, if f is continuous at t0, the sum of the
series equals f(t0),
stegfunktionen i fråga uppfyller villkåren i satsen, och således konvergerar fourierserien mot funktionen så som anges. Men det är alltså fråga om PUNKTVIS konvergens för fourierserien. Att det overshoot på ungefär 9% som är Gibb's fenomen inte behöver att försvinna - i bemärkelsen lim(overshoot)=9%, och inte lim(overshoot)=0 - är inte konstigt, då det alltså inte är likformig konvergens som satsen hävdar (fourierserien konvergerar inte i supremum-normen).
Likformig konvergens kan det självklart inte röra sig om, då partialsummorna till fourierserien i såfall vore en följd av kontinuerliga funktioner som konvergerade likformigt mot en icke-kontinuerlig funktion (stegfunktionen i fråga) - motsägelse.
Ett annat exemepel på en föjld av funktioner med ett overshoot som ändå konvergerar mot sin gränsfunktion punktvis är exempelvis f_n(x)=(sinx)^n, på intervallet [0,pi]. f_n går punktvis mot funktionen f som är 0 överallt förutom i pi/2 där den antar värdet 1. Supremum (över x i [0,pi]) för skillnaded f_n(x)-f(x) är 1 för varje n, så gränsvärdet för skillnaden är 1, ty lim {1}=1. Men som sagt punktvis lim f_n(x)=f(x) för varje x.
Här börjar jag ana en öppning.
Jag skulle kunna googla, men tycker att det är intressantare att diskutera. Vad betyder "punktvis konvergens", "likformig konvergens" och "supremumnormen"?
Jag gissar att jag hela tiden har pratat om punktformig konvergens mellan serien och fyrkantvågen. Jag har också hela tiden hävdat att gränsvärdet för toppens höjd är +9%. Har det något med supremumnorm att göra? Och vad är likformig konvergens?
Säg att du har en följd av funktioner f_n(x). Definera då funktionen f genom att sätta f(x)=lim (n-> infty) f_n(x). Dvs i varje punkt x0 sätter du värdet av f till lim f_n(x0). Du definierar en ny funktion, punktvis.
Följden jag nämde tidigare, dvs f_n(x)=(sinx)^n, har då den punktvisa gränsfunktionen 0 förutom i pi/2 där gränsvärdet är 1.
Likformig konvergens för en följd av funktioner f_n mot f,har du om du till varje e>0 kan välja ett N så att för alla n>N gäller att |f_n(x)-f(x)|<e, FÖR ALLA x i definitionsmängden.
Detta går inte i i exemplet f_n=sin^n. (Välj ett 1/2>e>0, ta ett godtyckligt stort N, du kan hitta x0 nära pi/2 så att (sinx0)N=1/2, och alltså går det inte att tvinga f_n nära f för samtliga x samtidigt. Den konvergerar punktvis, men konvergensen är godtyckligt långsam nära pi/2, så att säga.
Om du däremot har en likformig konvergens av en följd av kontinuerliga funktioner så kommer gränsfunktionen at vara kontinuerlig.
Supremumnormen på ett funktionsrum (alltså ett vektorrum av funktioner) är helt enkelt bara ||f||=sup|f(x)|, där supremum tas över alla x. Om funktionsrummet är ett slutet intervall, eg. [0,1] og funktionerna är kontinuerliga (så att dom allihopa antar ett maxvärde på intervallet) så sammanfaller normen med ||f||=max|f(x)|, där alltså ||.|| betyder norm av f, och |f(x)| är absolutbeloppet.
Normen ger ju en storlek på vektorer i vektorrumet (funktioner i det här fallet), och inducerar en metrisk struktur på vektorrumet genom att sätta d(f,g) =||f-g||. Således är avståndet mellan två funktioner i supremumnormen just sup|f(x)-g(x)|, eller max|f(x)-g(x)| i exemplet ovan, där sup (max) tas över alla x i definitionsmängden. Således är likformig konvergens det samma som konvergens i supremumnorm.
Satsen som jag refererade till ovan (som är tagen ur Anders Vretblads bok i fourier analys, Springer) säger alltså att om du definerar en funktion g(x) genom att låta den vara gränsvärdet av fourierserien för f i punkten x, för varje x, så får du g(t0)=1/2(f(t0+) + f(t0-)), dvs medelvärdet av höger-vänstergränsvärden för funktionen f i alla punkter (om f nu uppfyller villkåren i satsen).
Således blir g(t) för f=fyrkantsvåg (icke-kontinuerlig, om ni inte använder någon annan definition av fyrkantsvåg än den som finns på wiki) just det du skrev tidigare.
Det finns även andra vanliga normer på funktionsvektorrum. Exempelvis L^p normerna, p godtyckligt tal mellan 1 och oändligheten (oändligheten ger supremumnormen, eller snarare, den "essensiella supremumnorm" (nevermind, dom är samma för snälla funktioner) där ||f||_p :=(int _X |f|^p)^(1/p). Alltså med ord är normen av f integralen av absolutbeloppet av |f|^p över hela basrummet där funktionerna är definierade (exempelvis reella talen, eller något intervall, eller ett godtyckligt måttrum) och sedan tar man p-roten av integralen (talet som fås). En norm får ju endast anta reella värden, så funktionerna i funktionsrummet måste då vara p-integrerbara om man ska kunna införa en sådan norm.
För 2pi periodiska (ja, perioden kan ju väljas annorlunda än det också) så integrerar man då över [0,2pi] i normen. Men här måste det påpekas att normen inte är väldefinerat på rummet av funktionerna (ty i definitionen av en norm ingår att ||f||=0 om och endast om f=0 (som ju är nollelementet i vektorrummet (som består av funktioner, men man kan ju addera funktioner och multiplicera funktioner med konstanter, och fortfarande få funktioner (som dessutom är integrerbara) så det är verkligen ett vektorrum, och 0 elementet är just den konstanta funktionen 0), och således om två funktioner f,g endast är olika utanför en nollmäng (mängd med mått (eller förenklat längd 0)) eg. dom rationella talen i [0,2pi], så kommer integralen av diffensen |f-g|^p att vara 0, dvs ||f-g| |=0, vilket måste innebära att f-g=0 (som ju var 0 elementet). Det är problematisk, så för att man ska kunna definera en norm på sånna L^p rum är man faktisk tvungen att bilda ekvivalensklasser av funktioner (två funktioner identificeras till samma ekvivalensklass (nytt element i ett nytt kvotvektorrum) om och endast om dom är identiska utanför en nollmängd (mängd med mått, eller förenklat längd, 0, eg punkter, eller flera punkter, eller oändligt många punkter, så som rationella talen - men INTE intervall dom har en längd, nämligen längden på intervallet)).
Man måste definera en norm så ||f||=0 om f=0, för att man ska få en vettig metrisk struktur på rummet, som i sin tur gör det möjligt att prata om konvergens (man behöver förvisso inte en metrisk struktur för detta, utan endast en topologisk struktur (dessa induceras såklart av den metriska strukturen)).
Iallafall, detta börjar bli lite långt nu, så förhåller det sig så att om en funktion f tillhör L^ p[0, 2pi], för 1<p<oändligheten, så konvergerar fourierserien för f mot (f) (ekvivalensklassen av f) i tillhörande L ^p norm. Trevligt. Dvs fourierserien (hela den oändliga summan) kommer enbart att skilja sig från funktionen f utanför en nollmängd på intervallet.
Så mycket av diskutionen beror på vilken sorts konvergens man talar om. Punktvis får vi exakt den funktionen som Svante har omtalat tidigare. Supremum-konvergens finns inte (partialsummorna till fourierserien konvergerar inte) och i L^ p norm (area norm kan man väl också kalla den, och självklart är squarewave funktionen p integrerbar, i synnerhet |f|² är integrerbar
.
.
Det räcker inte att ta höjd för Gibbs fenomen.
0 så är alltid x/x = 1 om jag minns rätt 
) och därför så är
